Samael
Τιμώμενο Μέλος
δεν αμφιβαλλω οτι εχεις απολυτο δικιο ομως οταν ο αλλος πληρωνει ιδιαιτερα για να γραψει εναν χ βαθμο στις πανελληνιες δεν τον ενδιαφερει το βαθος της εννοιας αλλα να παρει τον καταλληλο βαθμο.αλλα σου ξαναλεω τα θεματα που πεφτουν πανελληνιες δεν αρκουν οι μεθοδολογιες οπως λες.πρεπει ο αλλος να χει κατανοησει τις εννοιες και να χει εξασκηθει καταλληλως για να γραψει,μην το θεωρουμε τοσο ευκολο.
Το λύκειο στην χώρα μας είναι σάπιο Ευκλείδη. Ο nPb έχει απόλυτο δίκιο σε αυτό που λέει.
Τα παιδιά προετοιμάζονται μια ζωή για να δώσουν πανελλήνιες και να αποδείξουν ότι είναι λιγότερο άσχετοι απο τους συμμαθητές τους, ώστε να διεκδικήσουν μια θέση στο πανεπιστήμιο. Και λεω λιγότερο άσχετοι, γιατί στις πανελλήνιες, δεν μετράνε πόση γνώση έχεις, αλλά κατά πόσο θα κάνεις λιγότερα λάθη από τον "διπλανό" σου.
Η πραγματική γνώση ,η όρεξη για επιστημονική αναζήτηση και εξερεύνηση μπαίνουν σε δεύτερη μοίρα, καθώς σημασία έχει μόνο να λύσεις στάνταρ σετ ασκήσεων απο βοηθήματα ώστε να τα πας καλά...χωρίς να χρειάζεται να αναρωτιέσαι στο ενδιάμεσο τι στο καλό μαθαίνεις. Οι περισσότεροι μαθητές βγαίνουν "τραυματισμένοι" ψυχολογικά και ακόμα και σωματικά απο την διαδικασία. Αυτό δεν είναι μάθηση...δεν θα μπορούσε σε κανέναν σύμπαν κάτι τόσο όμορφο να προκαλεί τόσο ψυχικό πόνο. Και το τραγικό είναι οτι γύρω απο αυτό πλουτίζουν φροντιστήρια που ο σκοπός τους είναι(και δεν τους κρίνω για αυτό) να παρέχουν συγκεκριμένες υπηρεσίες για να γράψει ο άλλος 20 στις πανελλήνιες όπως λες. Καλό αυτό...αλλά δεν αποτελεί σε καμία περίπτωση ουσιαστική μόρφωση. Για να μην σχολιάσουμε και την κοινωνική σαπίλα του φλεξαρίσματος και της ανωτερήλας που πουλάει ο κάθε μαθητής με την επιτυχία του ή οι γονείς του στην Ελληνική κοινωνία...
Παρόμοια κατάσταση χωρίς ίσως την κοινωνική σαπίλα, επικρατεί και στην Κίνα με το Gaokao. Με την διαφορά οτι το παίρνουν πολύ πιο σοβαρά αφού ήδη έχουν ασθενοφόρα στα κέντρα εξέτασης να περιμένουν...για να καταλάβει κανείς. Λυπάμαι, αλλά όπως είπα...αυτό δεν είναι εκπαίδευση, δεν είναι μόρφωση, δεν είναι καν επιστήμη. Είναι ανούσιο και απάνθρωπο.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
θυμαμαι περσι που σχολιαζαμε τα θεματα μου ειχε πει ο μαρκος οτι αυτο το οριο το παιρνουν ετοιμο οτι κανει μηδεν χωρις αποδειξη!!φαντασου δηλαδη ποσο τα εχουν ξεφτιλισει τα μαθηματικα
Αλήθεια ; Κακώς τότε γιατί η απόδειξη είναι πολύ απλή και το κριτήριο παρεμβολής αξίζει να το ξέρει κάποιος γιατί αντιμετωπίζει τέτοιες περίεργες περιπτώσεις και οι άλλες τεχνικές δεν θα δουλέψουν ή θα δουλέψουν αφού "φτύσεις αρκετό αίμα".
Samael
Τιμώμενο Μέλος
αν το κανεις με αλλαγη μεταβλητης μπορει το u να παει στο -00 αν πας απο αριστερα στο χ αλλα δεν υπαρχει λογος -απολυτο χ το αριστερο οριο +απολυτο χ το δεξι οριο γνωστα ορια οτι κανουν μηδεν.γενικοτερα οταν βλεπεις οτι ενα οριο δεν υπαρχει ειναι κριτηριο παρεμβολης διοτι δεν υπαρχει το οριο του ημιτονου στο απειρο
Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων:
αν το χ τεινει στο απειρο το οριο κανει ασσο γτ αναγεται στο γνωστο οριο ημu/u u τεινει στο μηδεν
Σε κάθε περίπτωση το u τείνει στο άπειρο είτε θετικό είτε αρνητικό, και είτε απο τα δεξιά είτε απο τα αριστερά το 1/u προσεγγίζει το 0, οπότε δεν έχει σημασία.Lifehack . Ωστόσο ναι, είναι παραπανήσιο βήμα η αλλαγή μεταβλητής.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Παιδια μπορεί να μου πει κάποιος πως λύνω το όριο όταν το χ->0 του χ*ημ1/χ
Το εχω συναντήσει μόνο σε κριτήριο παρεμβολής όπου βγαινει ευκολα από τα πλαινα όριο αλλά τώρα βρισκεται σε "πλαινό" όριο. Να κάνω αλλαγή μεταβλητής αλλά το χ που εχιε μπροστά δε βοηθάει.
Γιατί δεν βοηθάει ;
|ημx| <= 1 , άρα :
|ημ(1/χ)| <= 1 , πολλαπλασιάζουμε με |x|
|xημ(1/x)| <= |x|
-x <= xημ(1/x) <= χ
Παίρνοντας το όριο καθώς το x->0 για το δεξί και το αριστερό μέλος της ανίσωσης(που μας δίνουν και τα δυο 0) ,έχουμε απο το κριτήριο παρεμβολής οτι :
lim xημ(1/x) = 0
x->0
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Για να μη δημιουργούνται παρανοήσεις, οι πολυωνυμικές εξισώσεις μέχρι και 4ου βαθμού έχουν «τύπους» που δίνουν τις ρίζες τους, όπως και ειδικές μορφές εξισώσεων μεγαλύτερων βαθμών. Ωστόσο η γενική πολυωνυμική εξίσωση 5ου ή μεγαλύτερου βαθμού δεν μπορεί να λυθεί μέσω «τύπου» - όπου λέγοντας τύπο εννοώ ότι δεν είναι εφικτό να υπολογιστούν οι ρίζες μέσα από τους συντελεστές της.
Πάντως, και που υπάρχει ο τύπος για τις τεταρτοβάθμιες, άχρηστος είναι πρακτικά, αφού είναι τόσο άσχημος που και αριθμητικά δεν έχει νόημα να τον χρησιμοποιήσεις σε έναν υπολογιστή - δίνει συχνά μεγάλα αριθμητικά σφάλματα. Για περισσότερα, απόδειξη και τον σχετικό τύπο έχει η wikipedia.
Sorry my bad,για το 3ου βαθμού, το θυμόμουν λάθος.
Πάντως ναι, εφόσον έχεις υπολογιστή δεν χρειάζεσαι γενικά κανέναν τύπο, κάνεις "brute force" στο πρόβλημα με αριθμητικές μεθόδους και βρίσκεις τις ρίζες .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Ευχαριστω πολύ για την γρήγορη και άμεση απάντηση. Μου κάνει εντύπωση ότι αφού ειναι εκτός ύλης το έχουν μέσα σε σημειώσεις και βοηθήματα.
Κανένα πρόβλημα .
*Εκτός ύλης είναι ο τύπος Cardano ως μέθοδος εύρεσης ριζών, όχι οι εξισώσεις πολυωνύμων τρίτου βαθμού με το 0,εφόσον αυτές λύνονται και χωρίς την μέθοδο*.
Για ευελιξία γίνεται κυρίως αυτό στις ασκήσεις,να μην βλέπετε μόνο δευτέρου βαθμού. Στην πλειοψηφία των περιπτώσεων το 0,-1 ή 1 θα είναι οι ρίζες.Εξάλλου αρκετές φορές πέρα απο εποπτεία για εύρεση ριζών είναι πολύ πιθανό οι πράξεις να σε οδηγήσουν στην γνωστή ταυτότητα (x+-α)³. Αυτό σε οδηγεί οπότε στο
(χ+-α)³ = 0 =>
χ=-+α
Αλλά γίνεται και με άλλους τρόπους να εξαφανίσουν τον κυβικό όρο,με διαγραφή αντίθετων όρων κτλπ. Το νόημα είναι οτι δεν πρέπει να φοβάσαι,δεν χρειάζεται να ξέρεις κάτι συγκεκριμένο για να αντιμετωπίζεις αυτές τις περιπτώσεις. Απλά όπως είπαμε,εαν καταλήξεις σε πολυώνυμο τρίτου βαθμού(δεν διαγραφεί δηλαδή κάπως ο κυβικός όρος),τσεκάρεις μήπως είναι ταυτότητα.Εαν δεν είναι ούτε ταυτότητα, βάζεις δοκιμαστικές τιμές κοντά στο 0,μέχρι να πετύχεις την ρίζα για να παραγοντοποιήσεις και να σου μείνει πολυώνυμο δευτέρας τάξης και να βρεις και τις υπόλοιπες ρίζες.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Εχω μια απορία, όποιος μπορεί να βοηθήσει τ@ν ευχαριστώ εκ των προτέρων
Διαβάζω από τα μαθηματικό στέκι και στις συναρτήσεις σε κάποια άσκηση λέει να λύσετε μια εξίσωση. Είναι χ^3+χ-2=0 και γίνεται (χ-1)(χ^2+χ+2)=0
Πώς γινεται αυτο; Πολυώνυμα τρίτου βαθμού από β λυκείου; εψαξα και δεν βρηκα κάτι...
Κοίτα πρακτικά στο λύκειο βρίσκεις μια ρίζα με εποπτεία.
Εδώ ας πούμε παρατηρείς εύκολα εαν βάλεις όπου χ=1 οτι είναι ρίζα της εξίσωσης. Έπειτα συνεχίζεις με παραγοντοποίηση με σχήμα Horner κατά τα γνωστά.
Εγκυκλοπαιδικά θα σου πω οτι υπάρχει τύπος όπως για τις ρίζες πολυωνύμου δευτέρας τάξης και για τα πολυώνυμα τρίτης τάξης. Λέγεται τύπος του Cardano. Ωστόσο είναι σίγουρα εκτός ύλης γιατί στο ενδιάμεσο μπορούν να προκύψουν μιγαδικές ποσότητες,άσχετα εαν στο αποτέλεσμα εξαφανίζονται πάλι,και έτσι στο 100% των περιπτώσεων θα είναι εύκολο να βρεις την ρίζα με εποπτεία όπως είπα(συνήθως θα είναι το 0,1,2,3 ή -1,-2,-3).
Για πολυώνυμα δε μεγαλύτερης της τρίτης τάξης δεν υπάρχει καμία μέθοδος εύρεσης ριζών(πέρα εποπτείας και πάλι και αριθμητικών μεθόδων). Είναι ωστόσο εφικτό και μπορεί να ζητηθεί θεωρητικά σε μια άσκηση η ποιοτική μελέτη των ριζών(π.χ. είναι μεγαλύτερη απο την τάδε τιμή ; Μπορεί να είναι ρίζα το ρ ; Υπάρχει κάποια ρίζα θετική ; κτλπ.). Σε κάθε περίπτωση όμως ΔΕΝ υποτίθεται οτι θα σου ζητήσουν να βρεις με έναν μαγικό τύπο αριθμητικό αποτέλεσμα...θα είναι εύκολο να τις βρεις με το μάτι ή θα είναι εύκολο να εξάγεις συμπεράσματα με τις γνώσεις που ήδη έχεις.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Όμως επειδή πρακτικά δεν είναι χρήσιμη δεν σημαίνει οτι δεν έχει οφέλη,εαν και έχει μια χαρά σοβαρές εφαρμογές,απλά δεν είναι γνωστές στον κόσμο .Μπορείς να εφαρμόσεις Λαγκρανζιανή μηχανική και να πετάξεις σχεδόν όλη την γεωμετρία σε αντίθεση με την νευτώνεια μηχανική . Ωστόσο ποιος μαθητής έχει το intuition για μια τέτοια θεωρία ; Και μάλιστα πόσο overkill θα ήταν η εφαρμογή της για απλά προβλήματα; Ορισμένες μαθηματικές τεχνικές και θεωρίες αποκτούν ιδιαίτερο advantage μόνο όταν το πρόβλημα σου αρχίζει και γίνεται πολύ περίπλοκο . Άρα οι απλές θεωρίες είναι χρήσιμες γιατί δίνουν μια διαίσθηση και επιλύουν εύκολα και γρήγορα ορισμένα προβλήματα . Ταυτόχρονα εξυπηρετούν ως σκαλοπάτι στην εκπαιδευτική διαδικασία , ώστε να πας την σκέψη σου σταδιακά μερικά κλικ πιο κάτω .
Γενικά και εγώ απ'όσο ξέρω διδάσκονται οι κωνικές τομές στην Β λυκείου και θυμάμαι τότε μας έλεγαν πως οτιδήποτε απο προηγούμενες τάξεις μπορούν να το βάλουν . Επομένως εγώ στην θέση σας θα τα διάβαζα σίγουρα για να έχω το κεφάλι μου ήσυχο . Καλύτερα να πας πολύ προετοιμασμένος παρά να νιώθεις οτι υπάρχουν σημεία που έχεις κενά .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Επιτρέπεται - με την έννοια ότι είναι και «οδηγία» προς τα Βαθμολογικά Κέντρα - να χρησιμοποιηθεί γνώση που αναφέρεται σε άλλο μέρος του βιβλίου άνευ απόδειξης.
Πρώτον, κακώς δε διαβάζεις από το σχολικό - δε στο λέω για να νιώσεις άσχημα, μέρες που είναι, αλλά γιατί προλαβαίνεις να κάνεις ένα ξεσκόνισμα κι εκεί.
Δεύτερον, και οι δύο ανισότητες θεωρούνται γνωστές και τις χρησιμοποιείτε άνευ απόδειξης - δες την παράθεση της @Athena apo για τη σχετική οδηγία. Αυτοί οι τύποι έχουν κι ένα άλλο επιστημολογικό ενδιαφέρον που συνηγορεί υπέρ του να μη χρησιμοποιούνται με απόδειξη. Για να τους αποδείξει - τον δεύτερο - το σχολικό βιβλίο χρησιμοποιεί την παραγωγισιμότητα του λογαρίθμου. Ωστόσο - αναφέρομαι σε εκτός ύλης πράγματα τώρα - για να αποδειχθεί η παραγωγισιμότητα του λογαρίθμου χρησιμοποιείται η ανισότητα ln x <= x-1
πράγμα που καθιστά την απόδειξη του σχολικού βιβλίου κυκλική και άνευ νοήματος - το έχει επισημάνει και πριν από 2-3 χρόνια ο κ. Πολύζος σε σχετική του παρουσίαση στη Λιβαδειά. Η αλήθεια είναι ότι, originally, οι παραπάνω ανισότητες αποδεικνύονται με εργαλεία εκτός του λυκείου που δεν έχουν να κάνουν άμεσα με την παραγωγισιμότητα γι' αυτό και στο λύκειο προκύπτει αυτό το πρόβλημα.
TL;DR: Τις χρησιμοποιείς χωρίς να σε νοιάζει.
Εντάξει, εκεί θα χάναμε το νόημα των εξετάσεων. :Ρ Σκέψου ότι στις οδηγίες το ΙΕΠ μας λέει να διδάσκουμε τα όρια με μόνη πρόθεση να αναδείξουμε βασικά όρια και την ιδέα. :Ρ
Γιατί τέτοιο πετσόκομμα στα όρια ξαφνικά ; Πως διαφέρουν απο της γενικής πλέον άρα ;
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Μη μου τρομοκρατείς τα παιδιά. Το ΙΕΠ έχει εκδώσει οδηγία η οποία νομιμοποιεί τη χρήση DLH ακόμα και φέτος - έπειτα από σχετική γκρίνια, βέβαια...
Το άλλο είναι στην αρχή σχετικά του 5ου κεφαλαίου της άλγεβρας της Β' λυκείου - δεν αναφέρει όρια κ.λπ. αλλά παίρνει διαδοχικά τιμές για το ν, μέσα από το πρόβλημα των ανατοκισμών.
Να σου πω, σκέφτηκα κάτι άλλο τώρα. Το e είναι ο μοναδικός αριθμός που μπορούμε να βάλουμε στη θέση του α για τον οποίο η ανισότητα:
ισχύει για κάθε πραγματικό x. Αυτό υπάρχει στο σχολικό. Ωστόσο, χρησιμοποιούμε την παράγωγο της εκθετικής για να το αποδείξουμε, που προϋποθέτει ότι έχουμε μιλήσει για έναν αριθμό c με την ιδιότηταπου δεν είναι άλλος από τον e. Οπότε κάνουμε κύκλους.
Πληγές ξύνεις τώρα, άσε... :Ρ
Πράγματι κυριολεκτικά κύκλοι γιατί το παίρνουν αβίαστα ως δεδομένο κατά την επίλυση .
Αλλά περίμενε, ένα λεπτό . Εαν μπορούσες να "μαγειρέψεις" ένα όριο που θα έπαιρνε σημαντικά πολύ χρόνο για να λυθεί και κατέληγε με την οριακή έκφραση του e και άντε πες κάτι να το πολλαπλασιάζει ή να το διαιρεί ;
Οπότε σε όσους έκοβε και το έβλεπαν ,θα γλίτωναν στο τέλος λίγο χρόνο . Δεν έχει πολύ κακές προοπτικές αυτή η εκδοχή νομίζω,ειδικά εαν τους είχε βγει λίγο η πίστη να καταλήξουν στην σωστή μορφή για να το αναγνωρίσουν . Και όσοι δεν το έβλεπαν,θα τους έβγαινε ακόμα παραπάνω η πίστη .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Το e μπαίνει στη Β' λυκείου σαν το «όριο» - εντός πολλών εισαγωγικών - της ακολουθίας:
μέσω του προβλήματος του ανατοκισμού, αλλά μετά αντιμετωπίζεται ως σταθερός αριθμός μεταξύ του 2 και του 3, «ξεχνώντας» τον ορισμό του.
Οπότε, αν ήθελες να θίξεις τον «ορισμό» του e θα έπρεπε να βάλεις αυτό το όριο, κάπως, χρησιμοποιώντας μία συνάρτηση της μορφής:
όπου μπορείς να βάλεις κάποια g(x) στη θέση του x αρκεί να απειρίζεται κάπου. Ωστόσο, οι συναρτήσεις με μεταβλητό εκθέτη και μεταβλητή βάση ορίζονται - στο λύκειο σίγουρα, αλλά όχι μόνο - ως:
οπότε, αν πας να βάλεις ένα τέτοιο όριο θα το κάνουν έτσι όλα τα παιδιά και θα πάει στράφι ο κόπος. Το έχω σκεφτεί πολλές φορές, αλλά δεν έχω βρει τρόπο να το χώσω ομαλά σε διαγώνισμα ως τώρα. :Ρ
Τώρα, μπορείς να ψάξεις και κάτι με τον ορισμό:
αλλά ποιο παιδί θα το εκτιμήσει αυτό; :Ρ
Όπως και να έχει, σπαστικό το e στο λύκειο. Και το πώς ορίζονται οι εκθετικές συναρτήσεις και οι λογάριθμοι και όλα. Μου φαίνεται πρέπει να την κόψουμε την πολύ ανάλυση στο λύκειο. :Ρ
Eίσαι σωστός,το είχαν αλλά σε μορφή ακολουθίας . Χμ,βλέπω τι εννοείς,το είχα ξεχάσει αυτό . Είναι δύσκολο οπότε γιατί θα χρησιμοποιήσουν a posteriori την γνώση που θες να τσεκάρεις . Το είχα καημό πολύ καιρό να το δω ,αλλά δεδομένου του τρόπου που διδάσκεται μάλλον δεν παίζει .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Samael
Τιμώμενο Μέλος
οχι χωρις το χ μπροστα λεω.
Οπότε εννοείς το όριο του (lnx)(sinx) καθώς το x τείνει στο 0.
Πάλι το ίδιο εύκολο είναι νομίζω, 0 .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Πονηροτατο οριο που θα την πατησει κοσμος!lim(ημχlnx) χ τεινει στο μηδεν.Αν δεν δεις την κινηση που πρεπει θα τρελαθει στις πραξεις και δεν θα βγαλει τιποτα
Εαν κατάλαβα καλά και το όριο είναι
x(lnx)(ημx) με χ->0
Δεν νομίζω οτι θα δυσκόλευε την πλειοψηφία των παιδιών .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Μήπως μπορείτε να με βοηθήσετε με μια άσκηση μαθηματικών παρακαλώView attachment 69812
A)
α)
g(x) = 1/f(x) + x
g'(x) = -f '(x) / f²(x) + 1
g '(x) = [f²(x)-f '(x)]/f²(x) = 0 => αφού f²(x) = f '(x) απο υπόθεση του προβλήματος .
g(x) = c
1/f(x) + x = c =>
g(a)=c=g(b)
β)
2ln[f(xo)] = ln[f(a)]+ln[f(b)] =>
2ln[f(xo)] = ln[f(a)f(b)] =>
ln[f²(xo)] = ln[f(a)f(b)] =>
f²(xo) = f(a)f(b) =>
f '(xo) = f(a)f(b)
Απο το α) έχουμε οτι ισχύει :
f(a)-f(b) = (a-b)f(a)f(b) =>
f(b)-f(a) = (b-a)f(a)f(b)
Απο το ΘΜΤ υπάρχει xo E (a,b):
f '(xo) = [f(b)-f(a)]/(b-a) =>
f '(xo) = (b-a)f(a)f(b)/(b-a) =>
f '(xo) = f(a)f(b)
Β)
f '(x) = f²(x) > 0 =>
f γνησίως αύξουσα,άρα ακρότατα είναι τα άκρα του διαστήματος,εφόσον ορίζεται σε αυτά η f :
fmin=f(a) , fmax=f(b)
Γ)
Χρησιμοποιήσε την σχέση : 2015f(a) = f(b) στην αρχική σχέση :
1/f(b) - 1/f(a) = a-b
Θα καταλήξεις με :
f(b) = 2014/(b-a)
f(a) = 2014/[2015(b-a)]
Κάνεις τις εξής συγκρίσεις :
ln(2015)/(b-a) < f(b) = 2014/(b-a) =>
ln(2015)< 2014
Δεδομένου οτι lnx < x-1 , x>0 , η παραπάνω προφανώς ισχύει .
Επίσης :
f(a) = 2014/[2015(b-a)] < ln(2015)/(b-a) =>
2014/(2015) < ln(2015) =>
2014 < 2015*ln(2015) =>
Που προφανώς και ισχύει, αφού 2015>2014 και ln(2015) > 1 ,εφόσον x=2015>e .
'Αρα 2015*ln(2015) > 2014
Απο τα παραπάνω προκύπτει οτι :
f(a)<ln(2015)/(b-a)<f(b)
Απο το ΘΕΤ θα υπάρχει κάποιο ξ Ε (a,b) τέτοιο ώστε :
f(ξ) = ln(2015)/(b-a)
Samael
Τιμώμενο Μέλος
η θεωρια παιγνιων δεν ειναι παντως τρομερα δυσκολη αν καταλαβεις τη λογικη
Φαντάζομαι πως όχι όσο άλλες περιοχές των μαθηματικών αλλά κρατάω μικρό καλάθι γιατί δεν έχω ασχοληθεί σοβαρά , και επειδή όταν κάτι δεν σου γεμίζει το μάτι , στα μαθηματικά , τα φαινόμενα συνήθως απατούν . Ειδικά εαν χωθεί μέσα και συνδυαστική εκεί τότε σίγουρα το σκέφτομαι ξανά .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
το ασαφης λογικη μου θυμισε τη δημιουργικη ασαφεια και τη θεωρεια παιγνιων του βαρουφακη
Ναι συνδέονται όλα αυτά, διακριτά,αφηρημένη άλγεβρα,θεωρία παιγνίων...
Βέβαια δεν έχω ιδέα απο ποια σκοπιά τα μελετάει & τα εφαρμόζει ένας οικονομολόγος .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
αυτο το ηξερα με την ταυτολογια που ειπες.Γενικοτερα τα μαθηματα προτασιακου λογισμου ειναι σκετος πονοκεφαλος.Κατι modus ponens και κατι θεοπαλαβα.Σαν ο διαολος το λιβανι τα αποφευγουν αυτα οι φοιτητες
Έτσι είναι , μάλιστα είχα ασχοληθεί πρώτη φορά όταν ένας καθηγητής μου στην Β ή Γ γυμνασίου, στην γεωμετρία, μου είχε δώσει να διαβάσω το logicomix,αρκετά γνωστό σε όσους ασχολούνται . Εκεί κατάλαβα οτι η μαθηματική λογική είναι η πιο αγνή μορφή των μαθηματικών , και ο μεγαλύτερος πονοκέφαλος ακόμα και για τους ίδιους τους μαθηματικούς . Μπορεί να είναι δυσκολότερη και απο τον λογισμό,γιατί ακόμα και σε αυτόν μόλις μάθεις ορισμένα βασικά είναι εύκολο να "κάνεις μαθηματικά". Όλοι μπορούν να πάρουν μια παράγωγο , αλλά λίγοι να αναλύσουν μια λογική πρόταση . Αλλά δεν θα κάνω rumble,γιατί όπως είπα όταν αρχίζουν να μπαίνουν στην μέση έννοιες όπως η ασαφής λογική,εκεί η γραμμή ανάμεσα στο σωστός ή λάθος θολώνει λίγο,αλλά εκεί πάει πολύ αλλού η κουβέντα .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
αρχιζω και σε χανω εγω τωρα.αντινομια τι σημαινει??νομικος ορος ακουγεται.ειναι ασχημα διατυπωμενη η προταση.σιγουρα αν επεφτε πανελληνιες θα γινοταν κακος χαμος
Ναι πράγματι,αλλά και ο νομικός όρος απο το την ίδια έννοια πηγάζει .
Μια πρόταση μπορεί ανάλογα με τις τιμές που παίρνουν οι λογικές μεταβλητές ή άλλες προτάσεις αυτών να είναι αληθής η ψευδής . Όταν για οποιοδήποτε συνδυασμό τιμών αλήθειας αυτών των μεταβλητών ,η πρόταση είναι πάντα λάθος,την λέμε αντίφαση .
Αλλά για άλλες προτάσεις μπορεί για ορισμένους συνδυασμούς να είναι αληθής ή ψευδής . Εαν είναι πάντα αληθής τότε είναι ταυτολογία .
Κυρίως αυτός είναι ο λόγος που είπα οτι πρόκειται για ένα πολύ δύσκολο ερώτημα ,γιατί η λογική δεν είναι καθόλου μα καθόλου εύκολη και πρέπει να είσαι πολύ προσεκτικός στο πως ορίζεις και δέχεσαι τα πράγματα . Παλιά θα ήταν μαθηματική φιλοσοφία όλο αυτό που κάνουμε,σήμερα όμως έχει πολύ σημαντικές εφαρμογές(& επιπτώσεις νομικά για ευφυή συστήματα ) .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
εννοουν οτι το οριο υπαρχει σονυ και καλα ενω καλλιστα μπορει να μην υπαρχει.αν σου ελεγε αν το οριο υπαρχει ξαναλεω αν το οριο υπαρχει τοτε ναι θα ειχες δικιο εσυ.
Αυτό το κατάλαβα , αυτό που τον ρωτάω είναι οτι δεν πρόκειται επομένως για καθολικά λάθος πρόταση ή αλλιώς αντινομία . Ξεφεύγω ελάχιστα αλλά ως φοιτητής ηλεκτρονικός μου το συγχωρώ γιατί το ερώτημα έχει ενδιαφέρον,και όταν η λογική αρχίζει να μην είναι άσπρο μαύρο(ναι σπόντα για fuzzy logic , θα καταλάβει σίγουρα ο Μάρκος) καλό είναι να καταλαβαινόμαστε .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Λοιπόν, σε σχέση με το πολύπαθο Σ-Λ, ας το δούμε λίγο αναλυτικά.
Έχουμε τον ισχυρισμό:
«Αντότε δεν συνεπάγεται ότιή»
Αρχικά, ας κάνουμε μία κουβέντα περί συνεπαγωγών. Ας πούμε ότι έχουμε μία συνεπαγωγή της μορφής. Τι πάει να πει αυτό; Πάει να πει ότι αν ισχύει το Α τότε πρέπει να ισχύει και το Β έτσι ώστε το σύμβολονα είναι αληθές.
Κι αν δεν ισχύει το Α; Τότε τι γίνεται; Τότε, πολύ απλά, δε μας νοιάζει. Αν το Α είναι ψευδές - αν δηλαδή δεν ισχύει η υπόθεσή μας - τότε λέμε ότι το σύμβολοείναι αληθές. Με άλλα λόγια, αντί να γράφουμεθα μπορούσαμε να γράφουμε/λέμε «Β ή όχι Α». Με άλλα λόγια, μία συνεπαγωγή είναι αληθής αν ισχύει τουλάχιστον ένα από τα παρακάτω:
Και, για να το δούμε και από την άλλη μεριά, μία συνεπαγωγή δεν είναι αληθής ακριβώς όταν ισχύει η υπόθεσή της και δεν ισχύει το συμπέρασμά της.
- ισχύει το συμπέρασμα,
- δεν ισχύει η υπόθεση.
Ή, με (πιο) άλλα λόγια: από αλήθεια συμπεραίνεις μόνο αλήθεια ενώ από το ψέμα συμπεραίνεις ότι θες.
Επομένως, πηγαίνοντας τώρα πίσω στην αρχική πρόταση, όπου είχαμε μία συνεπαγωγή της μορφήςμε:
A:
ή
Επομένως, για να μην ισχύει η συνεπαγωγή πρέπει να ισχύει η υπόθεση και να μην ισχύει το συμπέρασμα, δηλαδή πρέπει να ισχύει ότι
αλλά να μην ισχύει ότι:
ή
για κάποια συνάρτηση f. Μία τέτοια συνάρτηση είναι η
Της οποία το όριο δεν υπάρχει στο 0, ωστόσο η |f| έχει όριο 1. Άρα δεν ισχύει η συνεπαγωγή, άρα η πρόταση είναι σωστή.
Να πούμε εδώ ότι ως θέμα είναι κακό, ειδικά για λύκειο. Όπως έλεγε κι ένας καθηγητής μας στη σχολή - με άλλη αφορμή, συνήθως, αλλά κολλάει: «εδώ καλά-καλά παιδιά που σπουδάζουν ή, ακόμα χειρότερα, έχουν αποφοιτήσει από το μαθηματικό, δεν μπορούν να χειριστούν τους ποσοδείκτες και τις αρνήσεις των ισχυρισμών και θα πάμε να τα ζητήσουμε από τα παιδιά του λυκείου;»
Οπότε, η πρόταση είναι σωστή αφού αυτό που εξετάζεται στην ουσία είναι αν μπορούμε ή όχι από την υπόθεση να συνάγουμε το συμπέρασμα - που δεν μπορούμε εδώ - και όχι αν ισχύει η υπόθεση. Άλλωστε, στα μαθηματικά δε μας νοιάζει αν ισχύουν οι υποθέσεις μας. :Ρ (το τελευταίο μην το πάρετε 100% στα σοβαρά αλλά ούτε και 100% στην πλάκα).
I see what you mean there .
Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις που η πρόταση είναι λάθος όπως έδειξα,εαν υπάρχει το όριο . Επομένως το "λάθος" όπως το εννοούν δεν το λαμβάνουν υπόψιν τους ως αντινομία απ'ότι καταλαβαίνω ε ;
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Συγγνώμη έχεις απόλυτο δίκαιο στο τελευταίο το εννοούσα πιο πολύ σαν ισότητα αλλα προφανώς το έθεσα λαθος
No worries .
Θα περιμένουμε και θα μάθουμε .
Εσείς οι δυο συμφωνείτε αλλά μπορεί κάλλιστα ο καθένας για δικούς του λόγους,σωστούς ή λάθος .
Απο την άλλη εγώ μπορεί να έχω δίκιο(ως προς την απάντηση) αλλά για λάθος λόγο . Παίζουν πολλά, προσπαθούμε απλώς να βοηθήσουμε τον φίλο με τις ερωτήσεις . Και έχει σημασία να δει και την σωστή απάντηση αλλά και τον σωστό λόγο .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Ακούω αυτό που λες αλλα π ιστευω είναι σαν να ρωτάει: Αν υπάρχουν μάσκες φαντασμάτων και είναι άσπρες Τότε δεν συνεπάγεται ότι τα φαντάσματα υπάρχουν και είναι άσπρα.
Που είναι αληθείς Αφού δεν υπάρχουν.
Τώρα όσον αφορά αυτό που είπες με το lnx :
Ο ισχυρισμός που δίνεται δεν εξασφαλίζει την υπαρξη του ορίου. Η υπόθεση το μόνο που μας εξασφαλίζει είναι η ύπαρξη του απόλυτου του ορίου.
**Φυσικά διατηρώ επιφυλάξεις για αυτ α που λεω και ακούω και περιμένω τις σκέψεις των πιο ειδικών. Εκφράζω απλα τους προβληματισμούς μου.
Δεν είπα πουθενά οτι ο ισχυρισμός στα αριστερά αποτελεί ικανή συνθήκη για ύπαρξη του ορίου της f στο xo , άλλο είπα . Όπως επίσης ο ισχυρισμός δεν εξασφαλίζει την ύπαρξη του απολύτου του ορίου αλλά του ορίου του απολύτου.
Anyhow ας μην κουράζουμε άλλο το κεφάλι μας .
Ας περιμένουμε και την γνώμη του μαθηματικού .
Samael σχετικά με το ότι έδωσες παράδειγμα που αντικρούει τον ισχυρισμό.
Αν σου πω να μου χαρακτήρισεις τον ισχυρισμό:
Αν ισχυει α^2 + β^2 Τότε δεν συνεπάγεται ότι (α+β)^2.
Τι θα πεις ;
Δεν θα πεις αληθής;
Θα πεις Δηλαδή οτι υπάρχει η περίπτωση α=0 και β=2
Δεν θα σου πω τίποτα γιατί δεν είναι πρόταση . Στο αριστερό μέλος δεν υφίσταται υπόθεση καθώς δεν υπάρχουν λογικοί τελεστές (= , ^, v, ') . Άρα πως θα σου δώσω τιμή αλήθειας σε κάτι που δεν αποτελεί λογική πρόταση ;
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Σχετικά με τον ισχυρισμό θα συμφωνήσω οτι είναι αληθής. Η πρόταση δεν μας εξασφαλίζει πουθενά οτι το όριο υπαρχει. Ουσιαστικά νομίζω Samael απαντας σε κάτι τέτοιο:
Αν ισχύει η υπόθεση και το όριο υπάρχει ισούται με...
Ενώ ρωτάει κάτι που παραπέμπει σε αυτό: Αν ισχύει η υπόθεση Τότε το όριο υπάρχει και ισούται με...
Το όριο αυτό μπορεί και να μην υπάρχει.
Αν ισχυριστούμε οτ ι ο ισχυρισμός είναι ψευδής δεχόμαστε το ένα συνεπάγεται το άλλο.
Άρα αν το lim|f (x)|=l τότε το όριο είναι l ή -l( Πρόταση 1).
Αν ίσχυε η πρόταση αυτή θα ίσχυε και η αντιθετοαντιστροφη της. Άρα
Αν το όριο δεν είναι l ή μείον l Τότε το όριο της απολύτου δεν είναι l.
Που προφανώς δεν ισχύει
Διότι το όριο της f Μπορεί να μην ορίζεται καν αλ λα το όριο της απολύτου να είναι l
Άρα δεν ισχύει η πρόταση 1
Η άσκηση ρωτάει , είναι αληθές οτι το q(πρόταση δεξιά) δεν προκύπτει απο το p(πρόταση αριστερά) ;
Και εγώ λέω εαν η f έχει όριο στο xo τότε μπορώ να δείξω οτι το q προκύπτει απο το p . Ακόμα και εαν αγνοήσεις τα προηγούμενα που είπα , ουσιαστικά σου έδειξα οτι υπάρχουν περιπτώσεις που ο ισχρυσιμός δεν ισχύει . Άρα πως μπορεί να είναι αληθής ;
Απο την άλλη εαν το όριο δεν υπάρχει, δεν ξέρω πως μπορείς να χαρακτηρίσεις αληθής ή ψευδής την δεξιά πρόταση και επομένως τον ισχυρισμό . Είναι σαν να έχεις μια πρόταση που λέει εαν p τότε ln(x) > 2
και να μου λες,ένα λεπτό το δέχτηκες για x>0 τι γίνεται για x<0 . Μα αφού δεν ορίζεται το ln(x) για x<0 στην δεξιά πρόταση , πως θα πεις εαν ο ισχυρισμός είναι σωστός ή λάθος εαν δεν δεχτείς οτι x>0 .
ή να με ρωτήσεις την αλήθεια του ισχυρισμού οτι τα φαντάσματα είναι άσπρα . Δεν μπορώ γιατί δεν υπάρχουν . Δεν γίνεται να αποδώσω τιμή αλήθειας σε μια πρόταση που μιλάει για πράγματα που δεν υπάρχουν(ή δεν ορίζονται) .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
εσυ λες οτι η προταση ειναι λαθος.εγω λεω ειναι σωστη.το απεδειξα με αντιπαραδειγμα οτι μπορει να μην υπαρχει καν το οριο.
Ο ίδιος το λες,εαν το όριο δεν υπάρχει πως γίνεται ο ισχυρισμός να είναι αληθής ;
Αφού δεν μπορείς να κάνεις καν λόγο για την τιμή αλήθειας της δεξιάς πρότασης εφόσον το
lim f(x) που είναι δεξιά δεν ορίζεται . Άρα δεν έχει καν νόημα να αναρωτηθείς για μια τέτοια πρόταση εαν είναι αληθής ή ψευδής .
Επομένως δέχεσαι οτι το όριο υπάρχει και μέσω των παραπάνω βημάτων που έγραψα οδηγείσαι στο οτι η πρόταση είναι ψευδής .
Κατά την γνώμη μου είναι μια πολύ δύσκολη ερώτηση γιατί απαιτεί κάποιος να χρησιμοποιεί λογική σε λίγο πιο προχωρημένο επίπεδο απ'ότι συνήθως διδάσκεται(ή μάλλον δεν διδάσκεται) . Εαν και είμαι αρκετά σίγουρος οτι έτσι είναι, η γνώμη του @Μάρκος Βασίλης είναι πάντα χρήσιμη .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
G3.g'(x)=2x+1 θεωρουμε τη συναρτηση h(x)=2x+1-2e^-x Βολζανο στο [-1,1] και μετα δειχνουμε τη μοναδικοτητα μεσω μονοτονιας.
Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων:
μα το οριο μπορει να μην υπαρχει καν φιλε μου και δεν σου λεει οτι υπαρχει το οριο.οποτε εγω εβγαλα αντιπαραδειγμα που δειχνω οτι δεν υπαρχει το οριο ενω υπαρχει το οριο της απολυτου
Δεν είπα οτι είσαι *λάθος* ,εννοούσα απλά οτι πρέπει να το κάνεις λίγο πιο ξεκάθαρο
Samael
Τιμώμενο Μέλος
To πολλαπλης ειναι καλη ερωτηση που ειναι αρκετα δυσκολη.Απαντιεται με αντιπαραδειγμα.εστω η συναρτηση με διπλο τυπο f(x)=x^2+1 x>=0 ,f(x)=x^2-1,x<0 limαπολυτοφ οταν χ τεινει στο μηδεν=1 ομως το οριο της f οταν χ τεινει στο ο απο δεξια ειναι 1 απο αριστερα ειναι -1.Οπότε καλλιστα μπορει να μην υπαρχει καν το οριο
Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων:
G1.βαζεις οπου χ το -χ και εχεις φ(-χ)φ'(χ)=-1 (1) εξισωνεις τα πρωτα μελη αφου τα δευτερα ειναι ισα και εχεις φ(-χ)φ'(χ)=φ(χ)φ'(-χ) δημιουργειται μια παραγωγος
(φ(-χ)φ(χ))'=0 αρα φ(-χ)φ(χ)=c φ(0)=1 αρα φ(χ)φ(-χ)=1 (2) διαιρεις κατα μελη τις (1) και (2) και εχεις φ'(χ)/φ(χ)=-1 το πρωτο μελος ειναι γνωστη παραγωγος (lnφ(χ))'=(-χ)' οποτε lnφ(χ)=-χ+c1 lnφ(0)=c1 c1=0 αρα lnφ(χ)=-χ φ(χ)=e^-x
Η παρατήρηση είναι σωστή και το ξεκίνησες καλά,ωστόσο δεν φαίνεται ξεκάθαρα απο το ενδιάμεσο πόρισμα το ζητούμενο .
Αρκεί να θεωρήσει κάποιος μια συνάρτηση που το όριο της στο xo υπάρχει και ισχύει :
lim|f(x)|=|l| =>
lim|f(x)| = |limf(x)| =>
|limf(x)| = |l|
Θεωρώ :
limf(x) = y
Οπότε |y| = |l| => y = l ή y = -l
Η πρόταση ήταν :
Αν lim|f(x)| = |l| =/> y = l ή y=-l
Εμείς δείξαμε οτι ο ισχυρισμός είναι σίγουρα λανθασμένος εαν η f(x) έχει όριο στο xo, οπότε αυτό μας φτάνει για να αποφανθούμε οτι η πρόταση είναι ψευδής .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Ορισμός: Ανείναι μία συνάρτηση, λέμε ότι η f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στοαν για κάθεισχύει
Ορισμός: Ανείναι μία συνάρτηση, λέμε ότι η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στοαν υπάρχει ένατέτοιο ώστε για κάθεισχύει
Οι ορισμοί είναι ξεχωριστοί και ο ένας δεν κάνει αναφορά στον άλλον. Απλώς, είναι τετριμμένο να αποδείξεις ότι ένα (ολικό) μέγιστο είναι και τοπικό. Τετριμμένο, μεν, αλλά θέλει απόδειξη (προφανώς εκτός λυκείου αυτά, στο λύκειο θεωρείται προφανές).
Ναι αυτό σκεφτόμουν, οτι παρα είναι τετριμμένο για να ζητηθεί .
Απ'όσο θυμάμαι δεν παίζουν πολύ στο λύκειο με τα δ όμως,ούτε στα όρια .
Έχει αλλάξει κάτι απο τότε ;
Samael
Τιμώμενο Μέλος
το τοπικο μεγιστο μπορει να ιεναι μικροτερο απο τοπικο ελαχιστο
Δεν διαφωνώ με αυτό ωστόσο η πρόταση σου λέει οτι η σύγκριση γίνεται μεταξύ μέγιστου και τοπικών μέγιστων , όχι με τοπικά ελάχιστα .
Οπότε εαν ένα τοπικό μέγιστο είναι μικρότερο απο το τοπικό ελάχιστο,και πάλι δεν αναιρεί το γεγονός πως και φυσικά τόσο αυτό το τοπικό μέγιστο αλλά και αυτό το τοπικό ελάχιστο θα είναι μικρότερα απο το μέγιστο . Είναι ο ορισμός του μέγιστου μιας συνάρτησης.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
δεν πειραζει.ουδεις ασφαλτος που λεει και η ατζελα
Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων:
Να αποδειχθει η προταση:TO μεγιστο ειναι το μεγαλυτερο απο τα τοπικα μεγιστα.Δεν μου φαινεται και πολυ σωστη προταση
Πράγματι, σε ευχαριστώ για την παρατήρηση .
Ούτε εγώ καταλαβαίνω ακριβώς την πρόταση, εφόσον το μέγιστο ορίζεται έτσι ώστε να είναι το μεγαλύτερο απο όλα τα τοπικά μέγιστα .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
δεν νομιζω φιλε μου οτι ειναι πολυ σωστο το επιχειρημα οτι απο μια ριζα να γενικευσεις την συναρτηση.και γτ να μην ειναι ριζα μιας αλλης συναρτησης?
Ναι , έχεις δίκιο , μεγάλο μου λάθος,το επιχείρημα για την μετάβαση στην γενικότερη εξίσωση δεν στέκει γιατί αποδείξαμε οτι ισχύει για τουλάχιστον ένα ξ Ε (1,ξ) και όχι οτι ισχύει καθολικά οτι f '(x) = 1.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
f συνεχής στο [1,3] & παραγωγίσιμη στο (1,3) και η Cf διέρχεται
απο Α(1,1) & Β(3,3) .
Εντάξει το α ήταν πανεύκολο αλλά είμαι τυπικός και το βάζω να υπάρχει εαν τυχόν κάποιο άλλο παιδί χρειαστεί βοήθεια :
α)
Ζητάω εφαπτομένη στο Μ(ξ,f(ξ)) ,οπου ξ Ε (1,3) :
η y = -x -1 να είναι κάθετη σε αυτή .
Αρκεί :
λεφ*λε = -1 =>
λεφ*(-1) = -1 =>
λεφ = 1 =>
f '(ξ) = 1
Εφόσον ισχύουν οι προυποθέσεις για την εφαρμογή του ΘΜΤ
στο διάστημα [1,3] συμπεραίνουμε οτι υπάρχει ξ Ε (1,3) :
f '(ξ) = [f(3)-f(1)] / (3-1) = (3-1)/(3-1) = 1
Επειδή f(1) =1 & f(3) = 3 απο τα δεδομένα μας .
y - f(ξ) = x-ξ =>
f(ξ) = y-x+ξ
Samael
Τιμώμενο Μέλος
το συγκεκριμενο ηταν υποερωτημα απο ενα διαγωνισμα σε θεμα β και δεν επιανε τοσο πολυ. Δεν πολυ ασχοληθηκα πανω σαυτο γιατι δεν μου ηρθε στο μυαλο να θεσω οπου χ το φ-1(χ). Ευχαριστω παντως
Σκοπός σου πρέπει να είναι να παίρνεις όσες περισσότερες μονάδες είναι δυνατόν γιατί δεν ξέρεις απο που μπορείς να χάσεις,ή να σκαλώσεις την ώρα των εξετάσεων . Οπότε έτσι μεγιστοποιείς την πιθανότητα να τα πας καλά . Ωστόσο το σημαντικό είναι να προσέχεις τέτοιες λεπτομέρειες γιατί εαν και μπορεί να μην πιάνουν πολλά,σου καταστρέφουν την συνέχεια σε πιο περίπλοκα θέματα(3ο,4ο) .
Σαν γενικό κανόνα ,όταν κάνεις μια απόδειξη, είναι καλό να προσπαθείς ο ίδιος να της "επιτεθείς" . Ρώτα δηλαδή τι μπορεί να πάει στραβά και που,πως και γιατί ; Εαν ο ίδιος βρίσκεις ψεγάδια ή σημεία που δεν είναι επαρκώς αιτιολογημένα ή δεν μπορείς να εξηγήσεις με πλήρη σαφήνεια, τότε υπάρχει μεγάλη πιθανότητα να έχεις λάθος ή να μην είναι η καλύτερη απόδειξη που θα μπορούσες να κάνεις(έχει περιττές υποθέσεις ή αοριστίες) .
Εύχομαι καλό διάβασμα .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
ουσιαστικα ειπα πως η f(ω) oπου ειναι η f(f(0)) ειναι μηδεν αν και μονο αν 8-f(0)^3=0 ελυσα και βρηκα οτι το f(0)=2 αρα ειπα πως και το f(f(0))=0
υστερα εβαλα στο 2f-1(2) το f(0) που κανει μηδεν και στο f(2) οπου 2 το f(0) που βρηκα οτι κανει 0
δεν ξερω κατα ποσο ειναι σωστο...
Το πρόβλημα είναι οτι δέχεσαι αυτό που θες να αποδείξεις κατά κάποιον τρόπο εδώ .
Γι'αυτό μεν η προσέγγιση σου είναι καλή,διότι διαισθητικά ξέρεις τι πρέπει να δείξεις,ωστόσο για να είσαι απο άποψη μαθηματικών σωστός, οφείλεις να αποδείξεις αυτή την υποψία κάνοντας αντικειμενικές υποθέσεις που ξέρεις ή μπορείς να δείξεις οτι ισχύουν . Σε αυτή την περίπτωση μπορεί να μην φαίνεται τόσο σπουδαίο γιατί σου είναι προφανές το τι πρέπει να κάνεις , αλλά σε μεγαλύτερα προβλήματα μπορείς να μπλέξεις άσχημα, καθώς εκεί η διαίσθηση βοηθάει όλο και λιγότερο .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Καλησπερα φιλοι, ειμαι καινουργιος στην κοινοτητα και θα ηθελα να μου πειτε την αποψη σας για την παρακατω λυση. Δεν ειμαι σιγουρος αν ειναι σωστη η αν δεν ειναι σωστη
Δεν βλέπω πως αιτιολογείς την απαίτηση f(ω) = 0.
@Μάρκος Βασίλης εσένα πως σου φαίνεται ;
Παρακάτω παραθέτω μια ακόμα προσέγγιση :
f(f(x)) + f³(x) = 2x+8
Θέτω όπου x το f-1(x) στην παραπάνω σχέση και έχω :
f(f(f-1(x) ) ) + f³(f-1(x) ) = 2f-1(x) +8
f(x) + f³(f-1(x) ) = 2f-1(x) + 8
f(x) + [f(f-1(x) )]³ = 2f-1(x) + 8
f(x) + x³ = 2f-1(x) + 8
Για x=2 στην παραπάνω :
f(2) + 8 = 2f-1(2) + 8
f(2) - 2f-1(2) = 0
Σύμφωνα με την παραπάνω και την δεύτερη δοθείσα σχέση :
f(g(x)-x) - f(lnx+1) = 2f-1(2) - f(2) = 0
f(g(x) - x) = f(lnx+1) <=> f: 1-1
g(x) - x = lnx+1
g(x) = x+lnx+1 , x>0
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Ο σκοπός του βιβλίου είναι καθαρά διδακτικός - και καλά κάνει. Η μόνη συνάρτηση για την οποία γνωρίζουν a priori ότι έχει ασυμπτωτική συμπεριφορά στα άπειρα είναι η 1/χ, η οποία έχει οριζόντια ασύμπτωτη τον άξονα των χ - και στα δύο άπειρα. Από εκεί, παρατηρώντας τη, γενικεύεται αυτή η συμπεριφορά σε κάθε κλίση. Τυπικά μιλώντας, η έννοια τη ασύμπτωτης εισάγεται και στην Β' λυκείου με τις υπερβολές, αλλά πια δεν είναι στη διδακτέα ύλη - επί του πρακτέου, ό,τι κι αν έλεγε το υπουργείο, ποτέ δε δινόταν έμφαση στις ασύμπτωτες υπερβολής τα τελευταία χρόνια.
Σίγουρα καλά κάνουν,εφόσον έρχεται πιο εύκολα στον νου ο διαχωρισμός . Πρέπει να έχεις δίκιο,θυμάμαι αμυδρά οτι στην υπερβολή έλεγε κάτι για ασύμπτωτες . Ευτυχώς δεν είναι τίποτα το τρομερό και η εισαγωγή στο θέμα στην Γ λυκείου δεν επηρεάζει την ικανότητα της κατανόησης του μαθητή .Οι κωνικές τομές είναι ένα πονεμένο θέμα γενικά . Ακολουθούμε εννοείται το σχολικό βιβλίο πάντα καθώς οι εξεταστές διορθώνουν βάσει αυτού . Όποιος μπορεί να διαβάσει την υπερβολή ωστόσο το συνιστώ,γιατί εαν και εκτός ύλης,στην κυματική,στην φυσική της γ λυκείου ,εμφανίζεται ως λύση στο πρόβλημα της συμβολής απο διάδοση δύο επιφανειακών κυμάτων ,οπότε δεν βλάπτει να έχει κανείς μια στοιχειώδη γνώση για περί τίνος πρόκειται .
Ευχαριστώ πάρα πολύ, ήσουν κατατοπιστικότατος και ξεκαθάρισα (νομίζω) αρκετά πράγματα. Και πάλι ευχαριστώ
Χαίρομαι τότε ,καλό διάβασμα .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
@Samael Ένα σχόλιο για τις κατακόρυφες ασύμπτωτες και τα όρια, για να μην υπάρχουν παρανοήσεις.
Δεν υπάρχει κατακόρυφη στο 0+ και κατακόρυφη στο 0- (ούτε στα μαθηματικά ούτε στο σχολικό βιβλίο). Η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη σε ένα σημείο α του πεδίου ορισμού της αν τουλάχιστον ένα από τα δύο πλευρικά είναι άπειρο (οποιοδήποτε από τα δύο άπειρα). Επομένως, όταν μας βγαίνει το ένα πλευρικό και μας ζητείται μόνο ασύμπτωτη, δε χρειάζεται να το ψάξουμε παραπάνω - εδώ που ήθελε τη γραφική παράσταση, θα το υπολογίζαμε ούτως ή άλλως, βέβαια.
Επίσης, για τις πλάγιες και τις οριζόντιες, ο διαχωρισμός σε πλάγιες και οριζόντιες ασύμπτωτες γίνεται στο σχολικό βιβλίο για διδακτικούς σκοπούς - ορθώς γίνεται. Πρακτικά, ο ορισμός και τα θεωρήματα είναι τα ίδια - απλώς παίρνεις λ=0.
Σε σχέση τώρα με τα όρια, το πρόβλημα δεν είναι μόνο αν απειρίζεται ένα όριο, αλλά αν υπάρχει, εν γένει - το λέω για τα "β" αυτό. Για παράδειγμα το όριο
(μηδενική επί φραγμένη) οπότε λες λ=0, ενώ το όριο:
δεν υπάρχει - χωρίς όμως να απειρίζεται ή κάτι τέτοιο, υπάρχει ουσιώδες πρόβλημα στα άπειρα.
Κατά τα άλλα, άψογος!
Πράγματι το κατακόρυφη ασύμπτωτη στο 0- ή 0+ αποτελεί ξεκάθαρα δική μου αλχημεία .
Το σωστό είναι όπως λες κατακόρυφη ασύμπτωτη στο 0 και τελείωσε το θέμα !
Ευχαριστώ για την αναφορά σου στην σημαντική περίπτωση ανυπαρξίας του ορίου , την ξέχασα !
Όσο για την πλάγια εφαπτομένη,πράγματι έτσι είναι . Και εγώ μέχρι σήμερα θυμόμουν οτι το βιβλίο τα είχε ως δυο διαφορετικές περιπτώσεις ενώ επι της ουσίας , κοιτάζοντας την σχετική θεωρία πάλι σήμερα , παρατήρησα οτι η οριζόντια είναι απλά μια εκφυλισμένη περίπτωση της πλάγιας . Προσωπικά θα προτιμούσα αυτή την ερμηνεία,τώρα εαν κάποιος θέλει να τα αντιμετωπίζει διαφορετικά αυτά τα δύο οτι τον βολεύει καλύτερα υποθέτω,ωστόσο είναι τα ίδια πράγματα .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
f(x)=x/e^(1/x)
Πρέπει να βρω ασύμπτωτες για να σχεδιάζω την Cf. Αν μπορεί κάποιος ας τις βρει και να εξηγήσει λίγο πως ακριβώς βγαίνουν τα όρια γιατί μπερδεύομαι αρκετά. Πχ πότε το 1/άπειρο κάνει άπειρο και πότε 0. Θα είμαι ΥΠΟΧΡΕΟΣ!!
Διάβασε αυτά προτού συνεχίσεις για να καταλαβαίνεις τι συμβαίνει :
lim g(x) = +-oo
x->xo
Τότε θα ισχύει :
lim A/g(x) = 0
x->xo
Το xo μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός ή και το ίδια τα +οο ή -οο .
Εαν το όριο :
lim g(x) = 0
x->xo
και g(x) >= 0 για xo >= 0, τότε :
lim A/g(x) = +oo
x->xo+
Εαν ήταν g(x) <= 0 για xo >= 0 ,τότε :
lim A/g(x) = -oo
x->xo+
Ομοίως ανάλογα το πρόσημο της f αριστερά του xo( δηλαδή εαν f(x)<=0 ή f(x)>=0 για xo<=0) έχουμε :
lim A/g(x) = +oo , εαν f(x) >= 0
x->xo-
lim A/g(x) = -oo , εαν f(x) <= 0
x->xo-
Κάτι το οποίο είναι λογικό καθώς εαν σκεφτείς οτι έχεις 1/x καθώς το x->0+ φαντάσου οτι έχεις διαδοχικά αριθμούς : 1/0.01 , 1/0.001 , 1/0.0001 που σταδιακά σε οδηγούν στο +οο . Εαν όμως x-> 0- έχεις :
1/-0.01, 1/-0.001 , 1/-0.001 που σταδιακά σε οδηγούν στο -οο .
Λοιπόν,καταρχάς η συνάρτηση σου έχει πεδίο ορισμού το Df = R* = {x : x E R ^ x=!0 } = (-oo,0)U(0,+oo)
Επομένως είναι φυσικό να αναζητήσεις κατακόρυφη ασύμπτωτη στο x = 0 αφού είναι ένα σημείο στα άκρα του διαστήματος του πεδίου ορισμού της συνάρτησης f(x) .
Κατακόρυφες Ασύμπτωτες
lim f(x) = L1
x->0+
lim f(x) = L2
x->0-
Για να υπολογίσουμε το όριο θα θέσουμε 1/x = u , οπότε x = 1/u .
x-> 0+ => u-> +oo στο L1
x-> 0- => u-> -oo στο L2
Σύμφωνα με τα παραπάνω η συνάρτηση μέσα στα όρια εκφράζεται κοινά και για τα δύο όρια ως προς u ως εξής:
f(x) = 1/ue^u
Το L1 = 0
Στο L2 έχουμε το θέμα οτι η e^u στον παρανομαστή τείνει στο 0 και η u στο -οο . Το οποίο είναι απροσδιόριστο .
Επομένως γράφουμε καλύτερα την συνάρτηση μέσα στο όριο ως : e^-u/u . Τώρα τo ζήτημα δεν έχει επιλυθεί καθώς το όριο της προηγούμενης ποσότητας καθώς το u τείνει στο -οο είναι +oo/-oo που είναι επίσης απροσδιόριστο . Ωστόσο είμαστε σε θέση να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα του L'Hospital και παραγογίζοντας ξεχωριστά αριθμητή και παρανομαστή ταυτόχρονα έχουμε :
Αριθμητής = (e^-u)' = -e^(-u) και παρανομαστής = (u)' = 1
Οπότε θέλουμε το όριο της συνάρτησης -e^(-u)/1 καθώς u -> -oo . Το οποίο φυσικά μας κάνει -οο .
Επομένως η συνάρτηση δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη στο 0+ αλλά έχει στο 0-
Η θεωρία λοιπόν λέει οτι η συνάρτηση που μας ενδιαφέρει έχει πλάγια ασύμπτωτη στο +οο(αντίστοιχα στο -οο) εαν και μόνο εαν :
lim f(x)/x = λ
x->+oo
lim [f(x)-λx] = β
χ->+οο
(Αντίστοιχα όρια για το -οο) και θα είναι η y = λx+β
Πάμε να το δούμε στην πράξη . Η συνάρτηση μας είναι η f(x) = x/e^(1/x) .
lim 1/e^(1/x)
x->+oo
lim 1/e^(1/x)
x->-oo
Εφαρμόζω τον προηγούμενο μετασχηματισμό x = 1/u και έχω :
x-> +oo => u -> 0+
x-> -oo => u -> 0-
Στην προκειμένη τα όρια που ψάχνουμε είναι τα :
lim 1/e^u = λ1
u->0+
lim 1/e^u = λ2
u->0-
Όπου λ1 ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (εαν υπάρχει το όριο) στο +οο και λ2 ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας στο -οο αντίστοιχα .
Και στις δύο περιπτώσεις για u = 0, τα όρια έχουν τιμή 1 .
Άρα λ1 = λ2 = 1
lim [f(x) - λ1χ] = β1
x->+oo
lim [f(x)-λ2x] = β2
x->-oo
Δηλαδή τα :
lim [x/e^(1/x) - χ] = β1
x->+oo
lim [x/e^(1/x) - x] = β2
x->-oo
Αυτά τα όρια δεν πρέπει να απειρίζονται ,διαφορετικά δεν υπάρχει πλάγια ασύμπτωτη στο +οο ή αντίστοιχα στο -οο.
Αντικαθιστούμε στην f(x) τον μετασχηματισμένο τύπο και έχουμε για την συνάρτηση μέσα στα όρια :
(Θυμήσου οτι u = 1/x => x = 1/u)
1/ue^u - 1/u = (1-e^u)/ue^u
Επειδή τα όρια έχουν την μορφή 0/0 εφαρμόζουμε τον κανόνα του L'Hospital και πάλι οπότε έχουμε παραγογίζοντας ξεχωριστά και ταυτόχρονα αριθμητή και παρανομαστή :
-e^u/(e^u+ue^u) = -e^u/[e^u(1+u)] = -1/(1+u)
Είτε για u->0+ είτε u->0- (τα όρια του u είναι τα ίδια με πριν αφού τα x τρέχουν πάλι στο +οο και -οο αντίστοιχα) τα όρια είναι :
β1 = β2 = -1
Τόσο στο +οο όσο και στο -οο η f(x) έχει πλάγια ασύμπτωτη την ίδια ευθεία : y = x - 1 .
Αποτελέσματα και γραφική παράσταση
1) Κατακόρυφη ασύμπτωτη στο x = 0-
2) Πλάγιες ασύμπτωτες στο +οο και στο -οο την y = x-1
Προσοχή πρέπει να δοθεί στο σημείο οτι δεν χρειάστηκε να ψάξουμε για οριζόντιες ασύμπτωτες στο +οο και -οο καθώς όπως είπα και νωρίτερα,εφόσον βρήκαμε πλάγιες ασύμπτωτες,δεν μπορούν να υπάρχουν οριζόντιες . Εαν στο +οο ή στο -οο ή και στα δυο βρίσκαμε λ = 0 σημαίνει οτι θα είχαμε οριζόντια ασύμπτωτη και θα έπρεπε να την βρούμε παίρνοντας το όριο :
lim f(x)
x-> +oo ή -οο
Ορίστε και μία φωτογραφία της f(x) για να καταλάβεις καλύτερα :
Η κόκκινη ευθεία είναι η y = x-1 και η μωβ κατακόρυφη ασύμπτωτη της f καθώς πλησιάζει το χ το 0 απο μικρότερες τιμές,δηλαδή αρνητικές . Παρατηρείς οτι πράγματι είναι ασύμπτωτες της f( η πράσσινη καμπύλη) .
Ελπίζω να βοήθησα,εαν έχεις κάποια απορία πες μου .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Αυτή η ισοδυναμία ισχύει μόνο για τις αύξουσες συναρτήσεις
f (x)=f-1 (x) <=> f (x)=x
Σωστό πράγματι .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Μπορεί κάποιος να μου στείλει χειρόγραφα το θέμα 4 στο Facebook .....αν μπορεί κάποιος να με εξυπηρετήσει θα τον ευχαριστούσα και θα το εκτιμούσα πολύ ευχαριστώ (fb name : john papagiannidis) φοράω μια μαύρη κουκούλα
Το Δ1 :
Χρησιμοποιήθηκε μια εκ των συνεπειών του Θ.Rolle για την απόδειξη .
Το Δ2 :
Αναλυτικός προσδιορισμός των επιμέρους παραστάσεων του αρχικού ορίου και εύρεση των ορίων τους . Οδηγούμαστε σε απροσδιοριστία 0*οο*0 οπότε αφήνουμε την τρίτη παράσταση ως έχει και προσπαθούμε να αποφανθούμε το όριο των 2 πρώτων παραστάσεων που είναι και ευκολότερο ώστε να καταλήξουμε στα επιμέρους όρια 0*0 = 0
DLH = Κανόνας L'Hôpital
Το Δ3 :
Προσοχή η ισοδυναμία της f-1(x)=x <=> f(x) = x ισχύει μόνο εφόσον η f είναι γνησίως αύξουσα(όπως και συμβαίνει σε αυτή την άσκηση) .
Το Δ4 :
Τέθηκε συνάρτηση H(x) και εφαρμόστηκε το θεώρημα Bolzano . Επίσης υπολογίσαμε το f-1(ln5) ίσο με 2 αφού f(2) = ln5 . Δεν γίνεται αναλυτικός υπολογισμός των παραστάσεων εκ των προτέρων, παρα μόνο όταν είναι πλήρως απαραίτητο για το Θ.Bolzano καθώς ο έλεγχος σε συγκεκριμένες τιμές απλοποιεί αρκετά ότι χρειάζεται να υπολογίσουμε .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
f(x)=(x+1)/x , x>1
f(x)=x^2+1, x≤1
Να βρείτε τα σημεία της Cf στα οποία η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς την ευθεία y=-(1/4)x+2018 και να γράψετε τις εξισώσεις των εφαπτομένων στα σημεία αυτά.
Πήρα f'(x)=-1/4 και βρήκα τις παραγώγους, αλλά δεν μου βγαίνει η f παραγωγίσιμη στο 1.
Λύνεται κάπως αλλιώς; Γιατί αν δείξω ότι είναι Παρ/μη μετά λογικά παίρνω f'(x)=-1/4 για τις δύο παραγώγους και βρίσκω 2-3 σημεία.
Καλή χρονιά!
Για ποιόν λόγο θέλεις να την βγάλεις εσύ παραγωγίσιμη στο 1 ;
Βρήκες οτι είναι παραγωγίσιμη σε μια ένωση διαστημάτων και επομένως προχωράς κανονικά λύνοντας την εξίσωση :
f'(x) = -1/4
Πρώτα για x>1 και μετά για x<1 (Αλλάζεις τον τύπο της f'(x) κάθε φορά όπως πρέπει) . Αφού βρεις τις τιμές των x που ικανοποιούν την παραπάνω,έστω x1,x2,τις βάζεις ανάλογα με το διάστημα που ανήκουν στον αντίστοιχο τύπο κλάδου που δίνεται απο τον ορισμό της f και βρίσκεις το f(x1) και το f(x2) . Έχεις την κλίση -1/4 και ένα σημείο για την κάθε ευθεία επομένως απο τον τύπο y-f(xo) = f'(xo)(x-xo) βρίσκεις τις ζητούμενες εξισώσεις πρώτα για xo=x1 και μετά για xo=x2 και f'(xo) = -1/4 .
Φυσικά πρέπει να δείξεις και τα βήματα που φανερώνουν οτι η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 1 και επομένως δεν μπορεί να είναι λύση το x=1 . Εαν έχεις κάποια απορία ακόμα πες μου,καλή χρονιά και σε εσένα !
Samael
Τιμώμενο Μέλος
f1(x) =e^x
f2(x) =x^2
f3(x)=ημχ
Να γραφούν ως σύνθεση των παραπάνω:
ημ²e^x
ημe^2x
ε^ημχ⁴
ημ⁴*e^2x
Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει πως σκεφτόμαστε εδώ;
Προσπαθείς απο έξω προς τα μέσα να αναγνωρίσεις ποιά συνάρτηση έχει μπέσα στην άλλη . Λόγου χάρη :
ημ²(e^x) = (ημ(e^x))²
Αρα η συνάρτηση αυτή μπορεί να γραφτεί ως :
f2(g(x)) οπου g(x) = ημ(e^x) .
Παρατηρείς οτι η g(x) μπορεί να γραφτεί ως g(x) = f3(h(x))
Όμως έτσι μένει οτι h(x) = e^x = f1(x)
Αρα τελικά η συνάρτηση γράφεται ως :
f2(f3(f1(x)))
Δες το ανάποδα τώρα :
f2(x) = x²
και f3(x) = ημx
Αρα f2(f3(x)) = (ημx)² = ημ²x
f1(x) = e^x
Αρα f2(f3(f1(x))) = ημ²(e^x)
Ουσιαστικά βάζεις όπου θα έπρεπε να ήταν στην αρχική το x τον τύπο της νεας συνάρτησης .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Προς φοιτητες και καθηγητες. Τα μαθηματικα συνεχιζουν να γινονται πιο ενδιαφεροντα μετα απο την 3η λυκειοτ; Γενικα απο 2α δημοτικου μου αρεσαν και ημουν καλος και καθε χρονο μαρεσαν πιο πολυ και γενικα εχω κολλησει απιστεθτα τα τελευταια 2 χρονια. Μετα την 3η λυκειου πως ειναι;
Η απάντηση είναι σχετική εξαρτάται απο την ιδιοσυγκρασία σου. Λόγου χάρη ο λογισμός είναι πολύ χρήσιμος . Ωστόσο προσωπικά βρίσκω τα διακριτά αρκετά πιο απολαυστικά . Ομοίως κάποιος άλλος θα μπορούσε να έχει κόλλημα με θεωρία αριθμών ή δυναμικά συστήματα . Εφόσον σε ενδιαφέρουν θα σου πρότεινα να ακολουθήσεις σχετικές σπουδές και να εκτεθείς σε όσους περισσότερους κλάδους τους είναι δυνατόν ,διάβασε βιβλία και ασχολήσου με προβλήματα που σου κινούν το ενδιαφέρον . Εαν έχεις την δυνατότητα προσπάθησε να συμμετάσχεις και σε σχετικούς διαγωνισμούς .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Οταν θελω να βρω πραγωγο f(x)= x-ln(1+x)/1+x βοηθεια οποιος ξερει εχω φαει το κεφαλι μου μια ωρα για κατι τοσο απλο!
Το χ περιεχεται στον αριθμητη η ειναι σκετο ln(x+1) στον αριθμητη ;
Γενικα η παραγωγιση ειναι τετριμενη διαδικασια απο την στιγμη που ξερεις τους κανονες . Γιατι εχεις τετοια απορια λιγες βδομαδες πριν τις πανελληνιες ;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Σας ευχαριστώ! Έκανα το λάθος που αναφέρει ο Samael εδώ. Αλλά και εκείνος που επιμένει ότι έχει μία ρίζα.
Λογικα κατι αλλο ειχε στο μυαλο του εκεινη την στιγμη και μπερδευτηκε.Εαν δει το διαγραμμα της f θα αλλαξει γνωμη .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Έστω ότι η άσκηση είναι αυτή. Η διαφωνία βρίσκεται στο γεγονός ότι υποστηρίζω ότι το πλήθος ριζών του α) είναι διαφορετικό από το πλήθος ριζών του β) , άσχετα αν η 2η εξίσωση μετασχηματίζεται στην 1η. ( η γραφική της παράσταση μοιάζει με αυτή, την ζητούσε στο προηγούμενο ερώτημα.)
Υποστηρίζω ότι στο β) ερώτημα το α πρέπει να μην είναι μηδέν, γιατί μόνο το f (0) κάνει 0. Ελπίζω τώρα να ξεκαθάρισαν τα πράγματα. Περιμένω την γνώμη σας, και συγγνώμη για την ταλαιπωρία.
Αα η συναρτηση ειναι η f(x) = xe^((-x^2)/2 ,νομιζα οτι δεν ειχε x μπροστα της ,τωρα τα πραγματα ειναι πιο απλα .
Τελος παντων,agnwsth,καλα τα λες γενικα,το μονο σου λαθος ειναι οτι προσπαθεις να κανεις force το α να μην ειναι μηδεν γιατι τοτε δεν θα εχεις ριζα .Ομως αυτο δεν σε νοιαζει,θες να την βρεις αυτη την περιπτωση οχι να την αποφυγεις .
Οποτε λες οτι εαν το α = 0 προκυπτει οτι μια εκθετικη πρεπει να ειναι ισο με το 0 το οποιο ειναι αδυνατο για καθε x E R και επομενως εαν το α = 0 η εξισωση δεν εχει ριζες,και οχι πως δεν γινεται το α να γινει μηδεν. Αρα για να συνοψισω ειναι λαθος να πεις "αγνοω την περιπτωση που α = 0 γιατι δεν εχω ριζες". Η ασκηση περιμενει απο εσενα να το ανακαλυψεις αυτο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Καλησπέρα! Πρόσφατα έγραψα ένα διαγώνισμα στον διαφορικό λογισμό και ο καθηγητής μου έκοψε από το εξής στο Θέμα Β.
Έχουμε τη συνάρτηση f (x)=x*e^[(-x^2)/2]. Έπρεπε κάποια στιγμή να βρω το σύνολο τιμών της , το οποίο βρήκα σωστά. Έπειτα, ρωτούσε το πλήθος ριζών της εξίσωσης :
e^[(-x^2)/2]-a/x=0. Προφανώς αν την προχωρήσεις καταλήγεις στο f (x)=a , όμως εδώ είχαμε την διαφωνία. Εγώ είπα ότι το χ><0 , διότι δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της εξίσωσης. Παίρνοντας διάφορες τιμές για το a, όταν έφτασα στο σημείο όπου a=0 , τότε είπα ότι μόνο το f (0) =0, άρα πρέπει να απορριφθεί η περίπτωση a=0 αφού το χ=0 δεν ανήκει στο "πεδίο ορισμού" της εξίσωσης.
Τελικά πρέπει ή δεν πρέπει να το απορρίψω;
Εαν α = 0,η εξισωση δεν εχει ριζες διοτι επικρατει ο εκθετικος ορος της εξισωσης να ειναι ισος με το μηδεν(που δεν γινεται).
Εαν το α>0 επειδη ο εκθετικος ορος αποσβενει πολυ γρηγορα θα μεινεις με μια υπερβολη η οποια δεν θα εχει ριζες για θετικα x(ειναι φανερο απο την εξισωση) .
Εαν το α<0 ομοιως θα μεινεις με μια υπερβολη η οποια δεν θα εχει ριζες για αρνητικα x .
Στις δυο περιπτωσεις ομως θα υπαρχει το αντιστοιχο τεταρτημοριο που κοντα στο x θα παρουσιαζει δυο,μια η καμια ρίζα.Αυτο συμβαινει γιατι καθως η τιμη του α μεταβαλλεται ειτε θετικα ειτε αρνητικα,το αρχικο γραφημα του εκθετικου σπαει σε δυο καμπυλες της υπερβολης. Αρχικα ο εκθετικος ορος προσπαθει να πιασει το 0,και οσο μικροτερο ειναι το α τοσο πιο πολυ το "καταφερνει" αυτο,ομως οσο μεγαλωνει το x,το εκθετικο και ο ορος της υπερβολης τεινουν στο 0,με αποτελεσμα να δημειουργειται ακροτατο . Οσο μεγαλωνει ομως το α κατα απολυτη τιμη τοσο εξαμολυνεται το ακροτατο και χανονται οι ριζες απο 2 γινονται 1(το ακροτατο μολις που αγγιζει τον αξονα των x'x) εως και καμια και στη συνεχεια χανεται και εντελως το ακροτατο.
Σου εδωσα μια διαισθητικη εικονα του τι συμβαινει και γιατι ο τροπος λυσης θα ηταν λαθος . Ουσιαστικα χανεις 3 περιπτωσεις :
- Υπαρξη 2 ριζων
- Υπαρξη 1 ριζας
- Καμια ριζα
Σημειωση -> Ριζα 3η δεν υπαρχει διοτι η συναρτηση τεινει στο 0 οσο το x αυξανεται ή μειωνεται(αναλογα το α). Αυτο που πρεπει να εχεις στο νου σου ειναι οτι η παραμετρος συνηθως αλλαζει την εν λογω συναρτηση καθε φορα . Με το να παρεις μεμονωμενες τιμες εξεταζεις μια απο τις απειρες μορφες της τελικης .
Ενας καλος τροπος επιλυσης αυτου θα ηταν να υπολογισεις δευτερη παραγωγο και μετα το ακροτατο της(εξισωσης που θα θεσεις ως συναρτηση) συναρτησει του α. Να επαιρνες περιπτωσεις οταν το g'(α) > 0 ή g'(α)<0 ή g'(α) = 0 και με την βοηθεια του θεωρηματος Bolzano και τις οριακες τιμες της f στο +οο(ή στο -οο) να ισχυριζοσουν σε καθε περιπτωση το πληθος ριζων που αντιστοιχουν.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Ισως καλο θα ηταν να διευκρινιστει απο το πρωτο ατοπο προκυπτει οτι η g εχει ριζει στο κλειστο [χ1, χ2] ομως τα ακρα απορριπτονται αφουν αν θεσουμε χ=χ1 ή χ=χ2 στη δοθεισα σχεση καταληγουμε σε ατοπο
Η ριζα ζητειται ουτως η αλλως στο ανοικτο διαστημα οποτε αυτο δεν ειναι απαραιτητο.
Αυτο που πηραμε λιγο ως δεδομενο και χρειαζεται επισης αποδειξη ειναι οτι :
g(x1)=!0
g(x2)=!0
Διοτι αργοτερα στο 1ο ατοπο η g ως παρανομαστης τις παιρνει αυτες τις τιμες.Αυτο προκυπτει ευκολα ανικαθιστωντας βεβαια οπως ειπες x=x1 & x=x2 στην αρχικη.Πρακτικα τοτε ειναι πληρης η αποδειξη.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Πραγματικα ειναι μια ασκηση που θελει προσοχη. Εχω κανει συνεπειες ΘΜΤ. Θα λυνοταν κι αλλιως;
Το επεξεργαζομαι διοτι ειχα μια ιδεα χθες,αλλα εως τωρα δεν την κοβω να λειτουργει.
Βεβαια εαν καποιος εφαρμοζε το ΘΜΤ αντι για το Rolle στα ιδια διαστηματα με τις ιδιες συναρτησεις δεν θα ειχε θεμα,διοτι το Rolle ειναι ειδικη περιπτωση του ΘΜΤ.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Πολυ καλη ασκηση.Εχω μερικες αποριες.
Αφου απο θR βγαλαμε g'(ξ)=0 μετα γιατι μηδενιζεται το f'(ξ)g(ξ) και οχι το f(ξ)g'(ξ); Και μετα ποιο ειναι το ατοπο στο g'(ξ)=0;
Δεν βρισκω τη συνοχη οτι υπεθεσες g(x) διαφορο του 0 με το ατοπο.Μπορεις μηπως να μου το εξηγησεις;
Δεν εχεις αδικο.Ισως το προβλημα μπορει να ξεπεραστει και θα σου εξηγησω και το αλλο σου ερωτημα.
Εχετε κανει ωστοσο ΘΜΤ και συνεπειες;
Τελος παντων δεν ξερω εαν το εχετε κανει οποτε θα παραθεσω εναλλακτικη :
Εστω οτι υπαρχει ριζα ρ2 τετοια ωστε g(ρ2) = 0 .
Πολλαπλασιαζοντας με πλην την αρχικη εχουμε :
f'g-fg' =! 0 =>
g'f-gf' =! 0 =>
θεωρω οτι ρ1<x<ρ2 και διαιρω με f².
Εχω οτι : (g/f)' =! 0 .
g/f συνεχης στο [ρ1,ρ2] & παρ/μη στο (ρ1,ρ2) ως πραξεις μεταξυ παραγωγισιμων συναρτησεων, με (g/f)(ρ1)=(g/f)(ρ2)=0 .
Απο το Θ.Rolle υπαρχει ξ Ε (ρ1,ρ2) τετοιο ωστε :
(g/f)'(ξ) = 0 => f'(ξ)g(ξ)-f(ξ)g'(ξ) = 0 Ατοπο.(Πολλαπλασιασαμε με f² για να αφησουμε μονο παρανομαστη).
Αρα η g δεν εχει αλλη ριζα.
Για να απαντησω και στο αλλο σου ερωτημα :
Πραγματι δεν φαινεται η συνδεση του ατοπου και μπραβο σου που την ειδες γιατι θελει κοφτερο ματι.Συνηθως υποσυνειδητα οι περισσοτεροι θα την περναμε ως δεδομενη,ακομα και εγω.Ειναι φανερο εξαλλου οτι ευκολα κανεις λογικα λαθη και ουτε που το παιρνεις χαμπαρι .Εκει που εγω καταλαβα οτι καπου θα υπαρξει "θολο" σημειο ειναι οταν εγινε η διαιρεση με την g η οποια ηταν αγνωστο ουσιαστικα εαν ειναι 0 η οχι,αλλα εμεις καναμε την υποθεση και προχωρησαμε χωρις να το διευκρινισουμε. Οποτε η αρχικη "αβεβαιοτητα" υπαρχει σε εκεινο το σημειο και εμφανιζεται και στο ατοπο αργοτερα.
Τα πραγματα εχουν ως εξης : Διαιρεις με το g,δεχομενος οτι δεν υπαρχει ριζα.
Αργοτερα καταληγεις σε ενα κλασμα με αριθμητη την σχεση που σου δινεται και παρανομαστη την g και μαλιστα το βγαζεις ισο με το 0.
Ο μονος τροπος να γινει κατι τετοιο ειναι ειτε,ο αριθμητης να ειναι μηδεν,μα αυτο ομως δεν ισχυει.
Αρα ατοπο.
Εχουμε κανει λαθος στην υποθεση του Θ.Rolle.
Δεχτηκαμε οτι η f/g ειναι παραγωγισιμη στο (x1,x2) . Δεχτηκαμε επισης οτι η f/g ειναι συνεχης στο [x1,x2] Σε ολες τις περιπτωσεις ενα απο αυτα πρεπει να ειναι λανθασμενη υποθεση και ειτε στο ενα ειτε στο αλλο ουσιαστικα,το προβληματικο σημειο θα ειναι οτι η g σε εκεινο το σημειο ειναι 0.
Δεχτηκαμε επισης οτι f(x1)=f(x2)=0 αλλα αυτα ξερουμε οτι ισχυουν γιατι δινονται απο την υποθεση.
Χρειαζεται αρκετη προσοχη καθως ειναι μια "sneaky" λυση απο την αρχη της,μεχρι να καταλαβεις που παει το πραγμα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Κατι θα κανω .Ο @Samael λογικά μπορεί να σε βοηθήσει.
Καλησπέρα παιδιά, έχω αύριο να παραδώσω για το σχολείο κάποιες ασκήσεις και αυτή είναι η μόνη που δεν μου βγαίνει. Κάθε βοήθεια καλοδεχούμενη. Στις εικόνες φαίνεται ο τρόπος με τον οποίο έχω κινηθεί, χωρίς παρ'όλα αυτά να καταλήγω στο ζητούμενο.. Ευχαριστώ όλους εκ των προτέρων!!
Ωραια το πηγες,εχω καποιες επιφυλαξεις για το πηλικο μεν αλλα τελος παντων προς το παρων το αφηνω γιατι δεν νομιζω να ειναι θεμα(σιγουρεψου ομως οτι η σχεση που σου δινεται εχει πραγματι πλην και οχι +)
Εφοσον βρηκες τουλαχιστον μια ριζα αρκει να αποδειξεις την μοναδικοτητα της.
Εστω οτι υπαρχει και ρ2 Ε (x1,x2) τετοια ωστε g(ρ2)=0.
Θα ισχυει απο το Θ.Rolle για την g στο [x1,x2](λες οτι ειναι συνεχης και παρ/μη μπλα μπλα μπλα) :
g'(ξ) = 0 ,με ξ Ε (ρ1,ρ2).
Ομως ισχυει :
f'g-fg' =! 0 Για καθε x E R
Αρα για ξ η παραπανω δινει :
f'(ξ)g(ξ)-f(ξ)g'(ξ) = 0 =>
-f(ξ)g'(ξ) =! 0 =>
f(ξ)g'(ξ) =! 0
To f(ξ) δεν παιζει να ειναι 0 διοτι ειναι μεταξυ του ρ1 και ρ2 τα οποια ειναι μεταξυ των x1,x2 που αποτλεουν διαδοχικες ριζες της f,οποτε αναγκαστικα g'(ξ) =! 0 .
Αρα το Rolle μας οδηγει σε ατοπο,και το μονο σφαλμα που μπορει να εχουμε κανει ειναι να υποθεσουμε οτι η g εχει δευτερη ριζα. Αρα αποδειχθηκε η μοναδικοτητα της ριζας ρ1.
Δοκιμασε τωρα να το πας και αντιστροφα με δεδομενο οτι η g εχει μοναδικη ριζα και ισχυει η σχεση που σου δινεται,να δειξεις οτι f(x1)=f(x2) = 0 .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Καλησπέρα παιδιά.Μήπως γνωρίζει κάποιος να μου πει ποια είναι η απόδειξη του de l'hopital;;;
Στο πλαισιο της Γ λυκειου η αποδειξη του θεωρηματος του L'Hôpital δεν ζητειται.
Εαν ωστοσο σε ενδιαφερει γενικα να την δεις θα πρεπει να ψαξεις καποιο βιβλιο η βιντεο που κανει εισαγωγη στην πραγματικη αναλυση που σαφως συζητιουνται οι εννοιες του λογισμου αλλα με πολυ μεγαλυτερη αυστηροτητα στον ορισμο και εμφαση στις αποδειξεις. .
Μπορω να κανω μια αποπειρα να σου δειξω γιατι ισχυει ομως στην περιπτωση του 0 προς 0 οριου,χωρις αυτη την αυστηροτητα,για να το καταλαβεις πιο πολυ διαισθητικα :
Εστω lim x->xo[f(x)/g(x)] = λ
Εστω οτι f(xo)=g(xo)=0 και f,g παραγωγισιμες στο πεδιο ορισμου τους.
Τοτε κοντα στο xo εχουμε :
lim x->xo[(f(x)-f(xo))/(x-xo)] = lim x->xo[f(x)/(x-xo)] = f'(xo)
Ομοιως lim x->xo[(g(x)-g(xo))/x-xo)] = lim x->xo[g(x)/(x-xo)] = g'(xo)
Απο τα παραπανω εχουμε :
λ = lim x->xo[f(x)/g(x)] = lim x->xo[(f(x)/x-xo)/(g(x)/x-xo] = f'(xo)/g'(xo)
Προσοχη ο κανονας λεει οτι εαν υπαρχει το κλασμα f'(xo)/g'(xo) τοτε η λυση του ειναι η ιδια και για το αρχικο οριο.Αλλα εαν δεν υπαρχει αυτο δεν σημαινει οτι και το αρχικο οριο δεν υπαρχει επισης.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Στο δεύτερο μέλος θα βάλεις το τετράγωνο μέσα κάνοντας πράξεις,άκρους-μέσους μετά,χιαστί και λύνεις ως προς ν.
Τουλάχιστον αυτό μου είπε ο αδερφός μου που είναι θετική και το κατάλαβα. Εγώ είμαι θεωρητική,μη σε πάρω και στο λαιμό μου.
Τα V φευγουν εαν το δεις μερικα βηματα πιο μπροστα,επειδη απλοποιουνται και λυνει το πολυωνυμο δευτερου βαθμου που προκυπτει . Αλλα για θεωρητικη ωραιος .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Ποιος θα το φανταζοταν οτι ο τυπος του Ηρωνα θα μου χρησιμευε καποτε...τι ηρωνεια
Σαμαελ δεν εχω συντεταγμενες δυστυχως, μονο τα μηκη...
Νομιζω οτι βγαινει και με το νομο των συνημιτονων, τωρα που το σκεφτομαι. Αλλα ο τυπος του Ηρωνα σε γλιτωνει απο πολλες πραξεις
Πραγματι εχεις δικιο,ειχα κανει και λαθος στην οριζουσα τωρα το ειδα και το διορθωσα .Προσεξε ομως οτι στον τελικο τυπο σε ενδιαφερουν οι διαφορες των συντεταγμενων,δηλαδη μηκη. Αρα εαν εχεις κλιμακα μπορεις να μετρησεις με τον χαρακα και να ματετρεψεις,δεν χρειαζεται δηλαδη να ξερεις συντεταγμενες .
Παντως εαν δεν θυμασαι και απολυτως τιποτα μπορεις να χρησιμοποιησεις και το πυθαγορειο.Ειπες οτι ξερεις μηκη πλευρων οποτε ξερεις το μηκος της βασης και σου μενει να βρεις το υψος.Φερνεις λοιπον το υψος και σχηματιζονται 2 ορθογωνια τριγωνα τα οποια εχουν κοινη πλευρα το υψος εστω y και βασεις x και x-Α αντοιστοιχα οπου Α το μηκος της βασης. Εχεις δυο εξισωσεις και δυο αγνωστους(το υψος y και την μια βαση x). Απο το πυθαγορειο σχηματιζεις δυο εξισωσεις και απο εκει βρισκεις την βαση και το υψος οποτε υπολογιζεις απο τον τυπο E = (1/2)yx + (1/2)y(A-x).
Τα παραπανω τα λεω απλα για να υπαρχει ποικιλλια λυσεων στο προβλημα γιατι φετος υπηρχε μεγαλη απορια για το εμβαδον κυκλου οποτε σε γεωμετρικα προβληματα ειναι σημαντικο να παρουσιαζουμε αρκετες λυσεις.Γενικα δηλαδη εαν δεν θυμαται κανεις κατι ειναι καλο να αυτοσχεδιαζει.Στα μαθηματικα παντα υπαρχει τροπος να φτασεις στο ζητουμενο αρκει να θυμασαι κατι βασικο εστω και στοιχειωδες και απο εκει να δουλεψεις. Ο πιο ευκολος τροπος ειναι προφανεστατα ο τυπος του Ηρων.Θεωρω οτι οι παραπανω μεθοδοι ωστοσο ειναι χρησιμοι διοι θα ενισχυσουν την ευελιξια καποιου ή εαν δεν θελει να θυμαται τυπους η ξεχναει ευκολα .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Εχω να υπολογισω επειγοντως ενα εμβαδο οξυγωνιου τριγωνου, αλλα δε γνωριζω ουτε τις γωνιες ουτε το υψος του. Μονο τα μηκη των πλευρων του. Καμια ιδεα?
Υγ. Μην πει κανενας ολοκληρωμα τον εφαγα
Εναλλακτικα μπορεις να υπολογισεις το εμβαδον και απο τον τυπο :
Eτριγ = |det(ΑΒ,ΑΓ)|/2
Οπου ΑΒ = (XΒ-ΧΑ , ΥΒ-ΥΑ) , ΑΓ = (ΧΓ-XΑ,ΥΓ-YA).
det(ΑΒ,ΑΓ) =
|XΒ-ΧΑ ΧΓ-XΑ| = (XΒ-ΧΑ)(ΥΓ-ΥΑ)-(ΧΓ-ΧΑ)(ΥΒ-ΥΑ)
|ΥΒ-ΥΑ ΥΓ-YA|
Δηλαδη Ετργ = |(XΒ-ΧΑ)(ΥΓ-ΥΑ)-(ΧΓ-ΧΑ)(ΥΒ-ΥΑ)|/2
Οπου ΧΒ-ΧΑ τετμημενη περατος του διανυσματος που ειναι παραλληλο στην ευθεια που ενωνει τα σημεια Α,Β και εχει μετρο ισο με το ευθυγραμμο τμημα ΑΒ. Αντιστοιχα για YΓ-YΑ που ειναι η τεταγμενη του περατος .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
παιδες εχω μια ερωτηση! εχω το βοηθημα παπαδακη, εκδοση 2010 και στην ασκηση 49,23 εχει το εξης:
και λεει να βρεθει ο τυπος της f, η ασκηση λυνεται με το θεωρημα και τότε , αλλα δεν μπορω να την λυσω στις πραξεις..help!
δηλαδή αν κάνω τις πράξεις φθανω στο σημειο ..
και προφανώς για να ισχύει η ταυτότητα πρέπει να είναι και όχι ... που είναι το λάθος που κάνω και βγάζω ? στις λύσεις απλά γράφει και άρα
Κατι δεν στεκει με τα δεδομενα σου.
Εαν παρεις οτι f(x) = 2x εχεις στο ενα μελος της εξισωσης υποθεσης
ολοκληρωμα απο 1 εως e του 4x² και δεξια ολοκληρωμα απο 1 εως e του 12x² .
Που προφανως δεν στεκει αρα για κοιτα μηπως υπαρχει λαθος.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Καλημέρα! Καταρχάς σας το έχω πει μαθηματικά εγκώ Ντεν τσερει.....μήπως γίνεται να με βοηθήσετε να βρούμε την αντιστροφή της Φ(Χ) = ln( 1-x/x) ?
Το έχω φτάσει
Φ(χ)=y =>
ln(1-x/x) =y=>
1-x/x =e^y
Και κάθομαι να ο κοιταω
Φ(x) = ln([1-x]/x)
Πεδιο ορισμου το : 1-x/x >0 => (1-x)x > 0 => x>0 και 1-x>0 η x>0 και x<1. Αρα 0<x<1.
Απο εκει που το αφησες :
1-x/x = e^y => 1-x = xe^y => 1 = x(e^y+1) => x = 1/(e^y+1) . Διοτι e^y+1 >0 για καθε y Ε R.
Πρεπει 0<x<1 αρα 0<1/(e^y+1)<1 δηλαδη 1/(e^y+1)<1 που ισχυει για καθε y E R.
Αρα οριζεται η φ(y) = 1/(e^y+1) , y E R η Φ(-1)(x) = 1/(e^x+1) , x E R .
Ειναι αρκετα σημαντικο να μιλησεις πρωτα για πεδιο ορισμου και μετα για τον τυπο.Επισης το πεδιου ορισμου της αντιστροφης πρεπει να ικανοποιει τοσο τους περιορισμους κατα την ευρεση της αντιστροφης οσο και τους αρχικους.Η πανω ειναι η πιο μαθηματικως αποδεκτη μεθοδος.
Διαφορετικα λες οτι ειναι 1-1,βρισκεις το συνολο τιμων της Φ ,εννοειται οτι υπαρχει αρα η αντιστροφη με πεδιο ορισμου
DΦ(-1) = Φ(DΦ) και κανεις απλα την ευρεση της αντιστροφης χωρις να χρειαζεται να αιτιολογεις τιποτα αφου εχεις προκαθορισει το π.ο.
Τα παραπανω εαν δεν θες να βρουν αφορμη να σου κοψουν απο οπουδηποτε και να εισαι ακριβης.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Όχι στην εξίσωση δεν υπάρχει απλως μου τον δίνει..τον φτανω εκει που μου λεςκαι μετσμελετω μονοτονιακαι βρίσκω υποσυνολα τιμων και βριακω δυο ριζες τη χ=1 και μια θεωρητική ριζα πραγμα που μου φαινεται παραξεμο
Μια στιγμη,μια στιγμη...αλλο να σου ζηταει λυσε την εξισωση και αλλο να σου ζηταει δειξει οτι εχει ακριβως n ριζες η ταδε εξισωση.Εσυ με μελετη μονοτονιας και συνολο τιμων ουσιαστικα μπορεις να προσδιορισεις κυριως το πληθος των ριζων οχι ποιες ειναι αυτες.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Να λυθεί η εξίσωση (x+1)^2=2 εις την (x+1) αν f (x)=[ln (x+1)]/(x+1).Μπορεί να λύσει κάποιος ολοκληρωμένα Γιατί κολλάω κάπου στη λύση Της Ευχαριστω..
Εαν περασεις ln και στα δυο μελη παιρνεις ln(x+1)² = ln 2^(x+1) => 2ln(x+1) = (x+1)ln2 => [ln(x+1)]/(x+1) = ln2/2 => f(x) = ln2/2 .
Αρα ολα τα χ για τα οποια ειναι f(x) = ln2/2 ειναι λυσεις της αρχικης εξισωσης.Αλλα η εκφωνηση μου φαινεται περιεργη καθως οπως βλεπεις επεσα σε "τοιχο" στο τελος.Μηπως υπαρχει ο τυπος της f στην εξισωση αλλα τον ξεχασες;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Όταν λέμε η παράγωγος υπάρχει δεν σημαίνει πως υπάρχει κάποιο χ που να δίνει ένα y
Οχι...γιατι δεν υπαρχει τετοια ορολογια.Η μονη ορολογια που υπαρχει ειναι :
Μια συναρτηση f λεγεται παραγωγισιμη σε ενα σημειο xo οταν το οριο lim x->xo [f(x)-f(xo)/(x-xo)] υπαρχει και ειναι πραγματικος αριθμος .
Εαν μια συναρτηση f τελικα αποδειχθει οτι ειναι παραγωγισιμη σε ολα τα σημεια του πεδιου ορισμου τοτε λεμε οτι η f ειναι παραγωγισιμη.
Σε περιπτωση που η f ειναι παραγωγισιμη κατα διαστηματα δεν μπορουμε απλα να πεταξουμε ενα οτι η f ειναι παραγωγισιμη καθως πρεπει να πουμε που,σε ποιο διαστημα η σημειο.
Εξαλλου εαν υπαρχει η παραγωγος μιας συναρτησης εννοειται οτι ειναι και αυτη συναρτηση οποτε εξ'ορισμου θα υπαρχουν xo που θα αντιστοιχιζονται στα f'(xo) .
Γενικα μια συναρτηση μπορει να ειναι συνεχης σε καθε σημειο του πεδιου ορισμου της και παραγωγισιμη σε κανενα.Γνωστο παραδειγμα η συναρτηση weierstrass. Εδω καθε x Ε Α --f--> y E f(A) . Ομως καθε x E A δεν αντιστοιχιζεται σε κανενα y και επομενως το f'(A) δεν υπαρχει.Αρα δεν εχουμε συναρτηση και επομενως παραγωγο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Ασε φουλ σπαζοκεφαλια τελικα καταλαβα τι θελει(με απαγωγη σε ατοπο παει)
Προσπαθησα να το θεωρησω συναρτηση και να παλεψω τιποτα.Συνολο τιμων μπαα
Για το f'(x0)=1 κανεις χιαστι και σου φτιαχνεται το (e^x0-1)^2+x0^2=χ0e^x0.
Για χ0=0 ισχυει
Για χ0<0 το πρωτο μελος θετικο το 2ο αρνητικο ατοπο
Ομοια αποδεικνυεται οτι η f'(x0)=-1 ειναι αδυνατη
Ευχαριστω παντως για την ενασχοληση
Ωραιος man .
Καπου στην 2η παραγωγο οταν αντιληφθηκα οτι αλλαζει μονοτονια 3 φορες στον αρνητικο αξονα,μυριστηκα την δουλεια οτι δεν προκειται να εβγαινε με καμια απο τις γνωστες μεθοδους παρα μονο με ατοπο,το θεμα παντα ειναι καταλαβεις ποια προταση θα φαει το ατοπο
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Καλησπερες Εχω μια απορια
Εστω οτι εχουμε την συναρτηση f(x)=(x-1)/(e^x-x) προφανως xεR,διοτι e^x>_x+1>_x για καθε χεR
Θελουμε να αποδειξουμε οτι για χ<_0 υπαρχει μοναδικη εφαπτομενη (της Cf),η οποια σχηματιζει με τους αξονες ισοσκελες τριγωνο
Λοιπον για να μας βαζει χ<_0 δεν ειναι τυχαιο παιρνου την χ=0 και μας καθεται
Τωρα για χ διαφορο του 0
1ος τροπος ειναι να απαιτησουμε (ΟΑ)=(ΟΒ),οπου Α το σημειο τομης της εφαπτομενης με τον χ'χ και Β το σημειο τομης της εφαπτομενης με τον y'y
2ος τροπος ειναι να απαιτησουμε f'(x0)=1 ή f'(x0)=-1 (Επειδη το τριγωνο θα ειναι σιγουρα ορθογωνιο αρκει να αποδειξω οτι οι αλλες 2 γωνιες ειναι ισες,δηλαδη 45αρες)
Η λυση φυσικα και θα βγει απ'το f'(x0)=1,ωστοσο δεν μπορω να δειξω την μοναδικοτητα...
Ακυρη η λυση τελικα,εκανα λαθος υποθεση...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Δεν ξερω το προγραμμα διαβασματος σου αλλα θα σε προτεινα να ξεκινησεις παλια θεματα εξετασεων .
οπως ακριβως τα λες .
πινακες , γραμμικη αλγεβρα και ολοκληρωματα θα συναντησει σε πολυτεχνεια και μαθηματικο,φυσικο , πιο ηπια στο οικονομικο
Καλα στους μηχανικους επιτρεπονται τα κολπακια,εαν ειναι 0.978 η απαντηση μπορεις να πεις ενα "πρακτικα 1" εαν σου γλυτωσει σελιδες υπολογισμων και μιση μερα.
Το καλο με τα μαθηματικα ειναι οτι εσυ μπορεις να επιλεξεις ποσο deep μπορεις να πας σε οποιο πεδιο εισαι.Πηγαδι χωρις πατο
και φυσικα και οι παραπανω σε πραγματικες συνθηκες με το χερι θα λυσουν 0 προβληματα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Πειράζει που δεν κατάλαβα ΤΙΠΟΤΑ απολύτως??? Χαχαχα καλά κατάλαβα τι λες απλά έχω φάει " τα νιάτα μου" σε τέτοιες ασκήσεις ... Αχχχχ
Εαν επιλεξεις μαθηματικα οικονομικα στο μελλον οταν περασεις με το καλο στη σχολη που θες, θα καταλαβεις την ειρωνια των ασκησεων αυτων .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Έχεις ένα δίκιο, της άποψης του ότι θέλεις τύχη να δεις κάποια πράγματα, αλλά και πάλι .... Τώρα τα έχουν έτσι οπότε αναγκαστικά πρέπει και εμείς να τα διαβάσουμε να τα κατανοήσουμε και να τα αποδίδουμε στις ασκήσεις προς επίλυση...
Εμ ναι δεν βρισκω καποια πρακτικη πλευρα στο ολο θεμα.Καλο ειναι σε math quiz και τετοια.Αλλα σε μια σοβαρη εξεταση...μου φαινεται παραδοξο να μπαινει τετοιο ειδος ασκησης.Θυμαμαι οταν τα καναμε και κυριολεκτικα ηταν θεμα της στιγμης εαν θα βρεις λυση,και ενταξει δεν λεω σε τετοιες οπως η παραπανω δεν ειναι κατι τραγικο αλλα υπηρχαν και αλλες που ηθελες ολοκληρη διαδικασια.Θυμαμαι σε μια επρεπε να πας να κανεις μιση δουλεια και να παρεις το αποτελεσμα που στο εδινε να το δουλεψεις αντιστροφα ωστε να δεις πως να το συνεχισεις και να παρουσεις μετα την "σοβαρη" μαθηματικη λυση.Ηταν για κλαματα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Ευχαριστώ πολύ! Η μαύρη αλήθεια είναι ότι έκανα και τον τρόπο του Άγγελου, μου βγήκε και μετά έλεγα σαν την καλή κινέζικα " και τώρα μαρί τι κάνουμε?" Ξέρω είναι λίγο χαζές απορίες που κάνω αλλά κυρίως θέλω όσο το δυνατόν να έχω και πολλές απόψεις αλλά και να δω πως μπορώ να αντιμετωπίσω ασκήσεις χωρίς να αγχώνομαι. Και αντί να ρωτήσω καθηγητή που θα μου πει σκέψου το λίγο ακόμα, λέω να ρωτήσω εδώ, όλο και κάποιος θα με βοηθήσει.... Ευχαριστώ παιδιά!
Κάτι ακόμα!η αρχική μου ιδέα ήταν αυτή
... Αλλά όπως βλέπετε δεν περπάτησε.... Το 0,1 το πήρα γιατί αμέσως μετά στην άσκηση μου λέει ότι το εμβαδό του χωριού περικλείεται από f,g ,άξονα y'y(x=0) και Χ=1
Σημαντικο :
Το ορισμενο ολοκληρωμα(εχει ακρα ολοκληρωσης πραγματικους αριθμους) ειναι αριθμος .
Το αοριστο ολοκληρωμα ειναι συναρτηση .(Μαλιστα οικογενεια συναρτησεων)
δεν ειναι λαθος να το χρησιμοποιησει το αοριστο και εαν γνωριζεις καλη ολοκληρωση γλιτωνεις χρονο κατ'εμε
Πραγματικα ποτε δεν καταλαβα το νοημα αυτων των ασκησεων.Υπαρχουν ενα σωρο μεθοδοι αργοτερα οπως ολοκληρωση και οι εν γενει μετασχηματισμοι.Καποιος μπορει να μην κοιμηθηκε καλα και να μην σκεφτεται τιποτα,η απλα να μην μπορει να δει καποιο μοτιβο.Γιατι να βαθμολογηθει σε μια τετοια ασκηση,για το ποσο καλη τριλιζα ξερει να παιζει;
Αντι να βγαλουν κατι τετοια και να επαναφερουν γραμμικη αλγεβρα,πινακες,μιγαδικους βαζουν τωρα οτι'να 'ναι.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Το ιδιο γραφουμε απλα ειναι κολλητα
(-2χe^(-x) -e^(-x))=-(2x+1)e^-x=-2(x+1)/e^-x
Οπ ναι sorry,ακριβως τωρα το παρατηρησα.Ειχα μεταφερει λαθος ενα προσημο και μου εβγαινε αλλη συναρτηση.
Μια παρατηρηση,να εχετε υπ'οψιν σας οτι εχει να πεσει καιρο ευρεση αρχικης.
Μην ξεχνατε να παραγωγιζετε αυτο που βρηκατε για να κανετε επαληθευση και προσοχη στα προσημα γιατι ειδατε τι γινεται.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
( 2x-1 ) / e^x =2xe^-x-e^-x
Προσπαθησε λιγο να σκεφτεις την παραγουσα
2(-xe^-x)'=2xe^-x-2e^-x
Αρα σου λειπει ενα +e^-x
Επομενως η παραγουσα ειναι (-2xe^-x-e^-x)
ΥΓ σε περιπτωση που κολλατε επειδη το σχολικο δεν εχει το αοριστο μεσα,ειτε θα ολοκληρωνεται στο προχειρο με την χρηση αοριστου ολοκληρωματος και μετα θα βαζετε την παραγουσα,ειτε αν εχεις το f(a) θα βαζεται ολοκληρωμα απο α εως χ ετσι πχ σε αυτην την περιπτωση καθεται το f(x)-f(a)=...
Αγγελε δεν ξερω που ακριβως αλλα πρεπει να σου εχει ξεφυγει κατι καπου.
Η σωστη παραγουσα σε αυτη την ασκηση ειναι : f(x) = -(2x+1)/e^x
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Σ Η Λ?? Αν μια συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] με f (x)>=0 για καθε χε [α,β]και f (x) διάφορη του μηδενός για κάθε χε [α,β] τότε ολοκλήρωμα από α έως β f(x)dx>0
Γιατί σε δυσκόλεψε αυτό; Δεν είναι προφανές ότι εφόσον η συνάρτηση είναι μεγαλύτερη ή ίση από το μηδέν και σου λέει ότι είναι διάφορη του μηδενός για κάθε χ Ε [α,β] θα είναι μόνο f(x)>0 ; Άρα και το ολοκληρωμα θα είναι θετικό .Άρα σωστο.
Μάλιστα ακόμα και το ολοκλήρωμα μεγαλύτερο ή ίσο του μηδέν να ήταν εάν έβρισκες τουλάχιστον μία τιμή τέτοια ώστε f(x)>0 ,αντίστοιχα για <= ,Θα μπορούσες να μιλήσεις για γνήσια ανισότητα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Και πάλι καλησπέρα! Στην 965 έχω ένα μικρό θέμα.... Στην αρχή σκέφτηκα να χτίσω αυτό που θέλω να αποδείξω με το να το δημιουργήσω στην ανίσωση 2≤f(x)≤4... Δεν περπάτησε.... Μήπως να πάρω ξεχωριστά δύο μεριές να τις αποδείξω?
Παιρνεις την πρωτη ανισωση 2≤f(x)≤4 ολοκληρωνεις και την ονομαζεις σχεση 1
Παιρνεις ξανα την πρωτη ανισωση 2≤f(x)≤4 αντιστρεφεις και αλλαζεις φορα στα συμβολα της ανισοτητας την ονομαζεις σχεση 2.
Πολλαπλασιαζοντας κατα μελη την 1 και 2 προκυπτει το ζητουμενο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Χιλια ευχαριστω ! Λανσελοτ κολλαγα για ενα ηλιθιο αποτελεσμα που εβγαλα οτι ειχε τελικα σημειο οπου αλλαζα προσημο η φ! Παιδια χιλια ευχαριστω.... το τεταρτο λετε να βγειμε ΘΜΤ?
Ναι,ξερεις οτι η f ειναι κυρτη,αρα η f τονος γνησιως αυξουσα και μπορεις να υπολογισεις οτι f'(0) = 1/2 .
Αρα κανεις ΘΜΤ αφου πεις τα μαγικα λογακια για το διαστημα [0,x] για την f και βρισκεις οτι υπαρχει
0<ξ<χ τετοιο ωστε f'( ξ) = f(x)-f(0)/x-0 = f(x)/x .
Περνας την f' η οποια ειναι γνησιως αυξουσα και εχεις :
f'(0)<f'(ξ)<f'(x) => 1/2 < f(x)/x < f'(x) => x/2 < f(x) < x*f'(x)
Δηλαδη το ζητουμενο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
καμια ιδεα να την λυσω ?
Καταρχάς να σε ευχαριστήσω που απάντησες τόσο γρήγορα... Δεύτερον ναι έχω κάνει πρώτο και δεύτερο αλλά είναι λάθος το δεύτερο εκατό τα εκατό γιατί βρίσκω σημειο αλλαγής προσήμου ! Στο Χ=1/τ_ρ (e)
Παρακάτω καλύτερης ποιότητας εικόνα της εκφώνησης
Οπότε την ξανάρχισα την άσκηση από την αρχή
Το πρωτο ερωτημα γιατι το εχεις μουτζουρωσει;Το βρηκες πολυ καλα μεχρι εκεινο το σημειο.Εκανες βεβαια μερικες "στροφες" που δεν χρειαζοντουσαν αλλα σε σωστο αποτελεσμα θα κατεληγες.
Οσο για το Β2,ξερεις οτι η συναρτηση ειναι μια φορα παραγωγισιμη αλλα επειδη τελικα η παραγωγος εξαρταται απο την αρχικη συναρτηση προκυπτει οτι ειναι και αυτη παραγωγισιμη.
Β1.Την πρωτη πρεπει να την βρηκες f'(x) = e^(f(x))/ [e^(f(x))+1]
Β2.Προφανως f'(x)>0 για καθε x E R αφου τοσο ο αριθμητης οσο και ο παρανομαστης ειναι θετικες ποσοτητες.
Β3.Εαν θες εδω μπορεις να κανεις ενα κολπακι για να διευκολυνεις λιγο την κατασταση.Μπορεις να περασεις ln και στα δυο μελη αφου και τα δυο ειναι θετικα και τελικα να βρεις οτι αφου παραγωγισεις :
f''(x) = (f'(x))²*(1-f'(x)) .
Ομως (f'(x))²>0 για καθε χ Ε R και 1-f'(x) > 0 για καθε χ Ε R . Αρα f''(x)>0 και f κυρτη σε ολο το R .
Β4. ΘΜΤ.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
παιδιά μια βοήθεια δε μπορώ να λύσω το β ερώτημα απ το 3ο θέμα
Δοκιμασε να το ξεκινησεις ετσι :
Εκφρασε τις συντεταγμενες του Χ και το Y ως συναρτησεις του χρονου.
Αρα θα εχεις ΧΜ(t) και ΥΜ(t).
Επομενως ειναι Χ = ΧΜ(t) και y=YM(t).
Αρα ισχυουν οι σχεσεις f(X(t)) = YM(t) και απο την f(x) = g(1/x) για οπου χ το XM(t) εχεις
f(XM(t)) = g(1/(XM(t)) η YM(t) = g(1/(XM(t)) [Αυτην θα τη χρειαστεις αργοτερα για να υπολογισεις το Y'M(to) αφου παραγωγισεις τη σχεση).
Γνωριζεις οτι εφ(θ(t)) = YΜ(t)/XM(t).
Παραγωγισε την παραπανω ωστε να σου πεταξει εξω απο την εφαπτομενη την παραγωγο της θ(t) και αντικατεστησε οτι σου δινει το προβλημα για t=to οπως π.χ. XΜ'(t) = 2cm/s αρα θα ειναι και ΧΜ'(to) = 2 cm/s.
Αλλα ζητουμενα οπως το συν²(θ(to)) θα χρειαστει να χρησιμοποιησεις την ταυτοτητα :
συν²x = 1/(εφ²x+1).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Αν έχω f (x) μια δικλαδη με κλαδους:χ-1,αν χ <1 και χ-2 αν χ>1 πρέπει να εξετάσω αν η f είναι παραγωγισιμη στο 1??Ευχαριστώ
Σε αυτο προσεξε παρα πολυ διοτι ετσι την πατησαν πολλοι περυσι :
Εαν σου ζητησει μονοτονια ΔΕΝ εισαι υποχρεωμενος να εξετασεις την παραγωγισιμοτητα στο σημειο με τεμημενη χ =1.
Αρκει να βρεις το προσημο της 1ης παραγωγου στα εκατερωθεν γειτονικα/ο διαστημα και να βγαλεις πορισμα για την κλειστη μορφη του διαστηματος αφου ελεγξεις την συνεχεια στο 1 και στο αλλο ακρο του διαστηματος εαν οριζεται η f σε αυτο.
Εαν σου ζηταει η ασκηση να ελεγξεις την παραγωγισιμοτητα στο σημειο αυτο και δεν μπορεις να αποδειξεις οτι ειναι παραγωγισιμη,ειτε με τους κανονες ειτε με τον ορισμο της παραγωγο τοτε να ευχεσαι να μπορεις να αποδειξεις οτι δεν ειναι συνεχης ωστε να μην ειναι και παραγωγισιμη και να απαντησεις.Το αντιστροφο δεν ισχυει.
Εαν σου ζηταει τα κρισιμα σημεια της f(Τα εσωτερικα σημεια στα οποια η f δεν παραγωγιζεται η δεν υπαρχει η τα ακρα του διαστηματος εαν αυτο ειναι κλειστο διαστημα) τοτε πρεπει οπωσδηποτε να ελεγξεις παλι τι γινεται στο 1. Σε αυτη την περιπτωση μπορεις παλι να χρησιμοποιησεις το κολπο της περιπτωσης απο πανω.
Τα πανω καταλαβε τα καλα και δεν θα χασεις.
Για να απαντησω και στην ερωτηση σου.Ποτε εχει νοημα η αναζητηση της συνεχειας σε ενα σημειο;
Οταν αυτο ανηκει στο πεδιο ορισμου της συναρτησης.Εσενα οριζεται κατω απο το 1 και πανω απο το 1,αλλα κανενας απο τους δυο κλαδους δεν το περιεχει(ανισο-ισοτητα δηλαδη)
Μπορει να θεωρηθει λαθος ακομα και να ελεγξεις με πλευρικα ορια τι γινεται στο 1 διοτι δεν γινεται να ελεγξεις για κατι που ξερεις εξ'ορισμου οτι δεν υπαρχει,εκτος και εαν δεν εχεις διαβασει καλα την θεωρια(οποτε θα θεωρησει οτι αυτο συμβαινει και θα σου κοψει βαθμο ο βαθμολογητης ).
Δεν ξερω κατα ποσο καποιος θα ειναι τοσο σκληρος διοτι δεν ειναι απαραιτητα τραγικο λαθος καθως τεχνικα η διαδικασια εχει νοημα αφου υπαρχουν τα πλευρικα ορια.Ωστοσο ποτε δεν ξερεις.Αλλα ναι,εαν θες απαντας οτι το 1 δεν ανηκει στο π.ο. αρα δεν ειναι συνεχης στο 1,και επομενως ουτε παραγωγισιμη.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Πραγματικα ειστε ολοι φοβεροι! Σας ευχαριστω που βοηθατε τοσο την κοινοτητα!
Το οριο το εδωσε ενας καθηγητης στο σχολειο κ ειπε οτι δεν μπορουν ουτε μαθηματικοι να το λυσουν. Απ οτι καταλαβα μαλλον ηταν υπερβολικος.
Nikos667 ετσι οπως το περιεγραψες το εκανα χωρις ομως την αποδειξη η οποια δεν χρειαζεται πλεον.
αα οκ dlh δεν έχω μπει ακόμα
Σε ποιο κεφάλαιο είσαι?
Και εσύ είσαι φοβερή θα έλεγα που σου κόψε να χρησιμοποιήσεις την ανισότητα . Οφείλω να σου πω ότι η συγκεκριμένη ήταν η αγαπημένη μου είχα φτάσει σε σημείο οτιδήποτε περιέχει e^x σε ανισότητα να το αποδεικνύω με αυτή .
Ο μαθηματικός σου δεν έλεγε ψέματα το όριο είναι δυσκολο.Ενας σοβαρός μαθηματικός θα χρησιμοποιούσε ανάπτυξη σε σειρα όταν έβλεπε ότι τίποτα δεν λειτουργούσε που είναι πέρα των δυνατοτήτων της γ λυκείου.
Κυριάκο το κεφάλαιο του DLH κακως είναι στο τέλος του κεφαλαίου...
Πήγαινε διάβασε το δεν απαιτεί γνώσεις πέρα της παραγώγισης.Θα σου λύσει τα χέρια.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Πως αποδεικνυεται πως το 2ο μελος της ανισοτητας που αναφερεις παει στο +οο?
Αυτο ειναι το προβλημα που εχουμε εξ'αρχης, αδυνατουμε να υπολογισουμε το οριο αυτο: lime^x(ριζα(x^2 +1) -x) για x τεινει στο +οο!
Ξερουμε οτι το τελικο αποτελεσμα ειναι +οο αλλα πρεπει να αποδειχτει με καποιο τροπο.
edit: Fortomaki εχεις δικιο..
Και ακριβως ετσι αποφευγεις αυτο το προβλημα.Η λογικη ειναι η εξης.Εφ'οσον δεν μπορω να σου δειξω οτι το το ταδε οριο παει στο +οο
θα σου δειξω οτι ειναι μεγαλυτερο απο το κατι αλλο το οποιο μπορω πολυ ευκολοτερα να σου δειξω οτι παει στο +οο
Εδω εχω βγαλει μια φωτο την διαδικασια.Το οριο αυτο εννοειται οτι προεκυψε απο το 2ο μελος της ανισωσης καθως φτιαχναμε στο 1ο το αρχικο μας οριο.
Κοιταξε γενικα το να βαρεσεις Λοπιταλ σε ριζες δεν ειναι και πολυ εξυπνη κινηση,στο πρωτο οριο τουλαχιστον που δεν βγαινει και σιγουρα η ευχρηστη +-οο/+-οο η 0/0 απροσδιοριστια αλλα η πολυ δύσχρηστη οο-οο.
Εγω εφαρμοσα εναν μονο και μονο επειδη βγηκε φυσικα η μια απο τις ευχρηστες(κατ'εμε).Διαφορετικα παλι ειναι ριψοκινδυνο διοτι μπορεις να καταληγεις σε κυκλικους λοπιταλ.
https://www.dropbox.com/s/1ajcs34tdmwhip2/IMG_20171214_014937757.jpg?dl=0
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Σας ευχαριστω ολους παρα πολυ για τις απαντησεις σας!
Τελικα το ελυσα με την σχεση e^x>=x+1
Εβγαλα το e^x κοινο παραγοντα και αυτο που προκυπτει ειναι μεγαλυτερο ή ισο με το e^x επι (ριζα x^2+1 - x)
Τι λετε?
Εαν πηρες την e^x>=x+1,και εθεσες οπου x το ματζαφλαρι που εβγαινε εκθετης αφου βγαλουμε κοινο παραγοντα το e^x στο αρχικο οριο,επειτα μετεφερες το +1 αριστερα και πολλ/ασες με e^x και μετα περασες ορια και βρηκες οτι το 2ο μελος της ανισοτητας παει στο +οο,αρα και το 1ο μελος(που ειναι το οριο που ψαχνεις) τοτε εισαι σωστη.
Φυσικα πρεπει να λαβεις υπ οψιν σου οτι παρ'ολο που μπορεις να χρησιμοποιησεις την ανισοτητα αυτη απ'οσο θυμαμαι,αλλα και να την αποδειξεις δεν ειναι τιποτα,οφειλεις να αποδειξεις και τον παραπανω ισχυρισμο οτι εαν
limf(x)>limg(x) και lim g(x) = +oo τοτε και lim f(x) = +oo. με το x->xo οπου xo E [-oo,+oo]
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Κοιταξε το ομως και παλι
εχεις +00*0 αν δουλεψεις με ορια εκθετικα αυτο σου λεω δηλαδη δεν βγαινει παλι
αφου limx->+00 riza(x^2+1)-x=0 οποτε βγαινει e^0-1=1-1=0... απροσδιοριστια και παλι
Αν το δουλεψεις ομως με ορια εχει σφαλμα
αφου οταν το χ->+00 το υ->0 οποτε εχεις limx->+00e^x *limu->0(e^u-1)=+00*0
Αν και ψιλομπακαλικα μονο με τον τροπο της μιραντας λυνεται αλλιως πρεπει να κατσεις να σκεφτεις την εφαπτομενη της Cf,ναο η f κυρτη σε εκεινο το σημειο και να καταληξεις οτι limx->+00 y=+00 οπου y η εφαπτομενη της Cf.Πραγμα που δεν παιζει γιατι ειναι μεγαλη η διαδικασια ευρεσης προσημου της συγκεκριμενης παραγωγου
Δεν καταλαβαινω το point σου! Αν f(x)=e^(ριζα(x^2+1) - x) -1 , xe(0,+oo ) τοτε f συνεχης ως πραξεις μεταξυ συνεχων και αποδειχτηκε οτι f(x)>0 για καθε xe(0,+oo) αρα και το οριο της f με x-->+oo ειναι θετικο.. Δεν χρειαζεται να βγει απειρο καθως το οριο που μας ζητειται ειναι το lime^x *f(x) ,με x τεινει στο +oo. Δηλ. +οο επι θετικη ποσοτητα = +οο
Αν αναφερεσαι σε οσα εγραψα προγενεστερα, πριν αποδειξω το αποτελεσμα, εκεινα αποτελουν μια εικασια, δεν ειναι τεκμηριωμενος τροπος υπολογισμου του οριου. Απλως ειναι ενα σκεπτικο το οποιο βοηθα, καθως ξερεις τι θελεις να αποδειξεις
Αφου μεχρι στιγμης ολα απετυχαν αποφασισα να κατσω να ασχοληθω λιγο πιο σοβαρα οποτε να μια λυση(πιστευω) :
Θετω x^2+1 = u
uo = lim x^2+1 = +oo
x->+oo
,αρα |x| = sqrt(u-1), και επειδη x και u > 0 κοντα στο +οο εχουμε :
x = sqrt(u-1
με τις παραπανω αλλαγες στις μεταβλητες το οριο γινετε
lim ( e^(sqrt(u))-e^(sqrt(u-1)) )
u->+oο
Βγαζω κοινω παραγοντα το e^(sqrt(u))
Και μεσα μενει 1-e^(sqrt(u-1) - sqrt(u))
Υπολογιζουμε οτι αυτο εισουται με 0
Αρα lim e^(sqrt(u)) * ( 1-e^(sqrt(u-1) - sqrt(u)) = +oo
u->+oo
Αγγελε δικο σου .Να ζητησω συγγνωμη που τα γραφω στην παραπανω μορφη που ειναι δυσνοητη αλλα ο χρονος μου ειναι περιοερισμενος.Τωρα εκατσα και το εκανα σε χαρτι οποτε...
Αα τοτε Μαλιστα Μιραντα,αυτο το δεχομαι,εαν απλα θες να δεις που θες να "καταληξεις" αποδεκτο.Απλα οπως ειπα ηθελα να το τονισω διοτι μερικοι το παρεξηγουν και το εκλαμβανουν ως ορθο τροπο τελικης λυσης.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Μισο εχεις κανει λαθος τσεκαρε το πρωτο μελος
Τα ℯ^(sqrt(x² + 1)) - ℯ^x και ℯ^x*(ℯ^(sqrt(x² + 1)-1) - 1 δεν ειναι ιδια
Η ασκηση απλα σου ζηταει να βρεις το οριο ή απο πριν ειχε και αλλα ερωτηματα;
ΤετραγωνικηΡιζα(x^2 +1) > x , για καθε xεR
καθως ΤετραγωνικηΡιζα(x^2 +1)>ΤετραγωνικηΡιζα(x^2)=|x|>=x
Δηλαδη οι τιμες της συναρτησης f(x)=e^ΤετραγωνικηΡιζα(x^2 +1) τεινουν ΄΄γρηγοροτερα΄΄ στο απειρο, οσο οι τιμες του x τεινουν στο απειρο, σε συγκριση με την συναρτηση g(x)=e^x. Τελικα το οριο της διαφορας τους για x τεινει στο +οο κανει +οο.
Αλγεβρικα εν ταχει: https://prntscr.com/hmxhlj
Ισως κανω τα χειροτερα γραμματα στο ischool
Αγγελε εχεις ενα δικιο,σε ευχαριστω για την παρατηρηση,ηθελα να γραψω
ℯ^x*(ℯ^(sqrt(x² + 1)-x) - 1)
Τελος παντων και σε αυτη την περιπτωση το προβλημα παλι λυνεται ευκολα.
Ασχολεισαι μονο με το οριο του εκθετη,κανεις μια αλλαγη μεταβλητων και ξεμπερδευεις.
Παρατηρεις οτι εαν βγαλεις το x^2 θα εχεις θεμα και θα καταληξεις σε 0 επι +οο οποτε πολλαπλασιαζεις πανω και κατω με την συζυγη παρασταση και τα υπολοιπα ειναι πραξεις.
Παιδια το εχω δει πολλες φορες αυτο με το "το ταδε τρεχει πιο γρηγορα απο το ταδε αρα το οριο ισουται με...".
Ωστοσο μην το λετε αυτο το παραπανω γιατι μπερδευονται παιδια και πανε και το γραφουν στις εξετασεις.Το παραπανω ειναι ο εκλαϊκευμενος κανονας του De L'Hospital και εκ πειρας μιλωντας επειδη το χρησιμοποιουν οσοι βαριουνται να γραψουν ολη την αιτιολογιση η δεν εχουν καταλαβει απολυτως καλα την θεωρια.
Στην 3η λυκειου δεν περιμενουν να δουν "τρικ" που θα σας οδηγησουν ευκολοτερα στα "αυτονοητα".
Περιμενουν να δουν να εχετε μαθει ορισμους,κανονες,θεωρηματα και ιδιοτητες.
Μιραντα,ησουν η "αφορμη" να τα πω αυτα οποτε μην με παρεξηγησεις οτι τα γραφω με υφος ,απλα ηθελα να τονισω οτι η αιτιολογηση πρεπει να ειναι πληρης .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Καλησπερα!
Υπαρχει καποια βοηθεια;
Οποιοδηποτε hint ειναι ευπροσδεκτο. Δεν χρειαζεται να γραψει καποιος ολη την λυση.
Ευχαριστω!!
Εαν θες μπορεις να βγαλεις το e^x ως κοινο παραγοντα και να γινει ως εξης το οριο :
lim [ℯ^(sqrt(x² + 1)) - ℯ^x] =
x->+oo
lim [ℯ^x*(ℯ^(sqrt(x² + 1)-1) - 1] = λ
x->+oo
Θετεις sqrt(x² + 1)-1 = u, βρισκεις
uo = lim sqrt(x² + 1)-1 = +oo
x->+oo
και επειδη lim e^x = +oo
x->+oo
Τελικα ειναι λ = +oo
Ουσιαστικα αρκει αυτο που ειπε ο Unseen skygge,απλα στο εγραψα αναλυτικα γιατι νομιζω οτι δεν το καταλαβες.
Το να βγει το x^2 που προτεινει ο lancelot απο την ριζα δεν ειναι αναγκαιο.Ωστοσο δεν νομιζω οτι θα βρει διαφορετικη απαντηση και εκεινος.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Παιδιά θέλω βοήθεια σε μια άσκηση..Αν η f συνεχης στο R για την οποία ισχύει [f(x)]^2=e^x-1 να βρεθούν όλοι οι δυνατοί τύποι της f.Ευχαριστώ
1ο βημα.
Λυνεις την f(x) = 0
Ισοδυναμα αυτη εχει την ιδια λυση με την f(x)^2 = 0.
Αφου ομως f(x)^2 = e^x-1 τοτε η παραπανω γινεται e^x-1 = 0 η e^x =1 η χ = 0 ,μοναδικη λυση.
Επομενως f(x) = 0 για χ = 0.
Επισης ειναι καλο σημειο να παρατηρησεις οτι εαν x<0 τοτε προκυπτει οτι e^x-1<0 αρα η εξισωση γινεται
f(x)^2 = e^x-1<0 το οποιο δεν στεκει διοτι ισχυει οτι f(x)^2 >= 0 για καθε Χ Ε R.
Επιμενως η μελετη θα περιοριστει για χ>=0.
2ο βημα.
Η f ειναι συνεχης στο διαστημα και (0,+οο) και ισχυει f(x)=! 0 για καθε χ Ε (0,+οο) .
Απο τα συμπερασματα του Θ.Bolzano αντιλαμβανομαστε οτι η f διατηρει σταθερο προσημο στο (0,+οο)
3ο Βημα.
Διακρινουμε 2 περιτπωσεις.
α) f(x) > 0 στο (0,+οο)
β) f(x) < 0 στο (0,+οο)
Βημα 4ο.
Εαν f(x)>0 για καθε Χ Ε (0,+oo) τοτε παιρνωντας ριζες στα δυο μελη προκυπτει :
|f(x)|=|e^x-1|
Αφου ομως e^x-1 > 0 για καθε Χ Ε (0,+οο) και f(x)>0 για καθε Χ Ε (0,+οο) θα ειναι
f(x) = e^x-1
Εαν f(x)<0 για καθε Χ Ε (0,+oo) τοτε παιρνωντας ριζες στα δυο μελη προκυπτει :
|f(x)|=|e^x-1|
Αφου ομως e^x-1 > 0 για καθε Χ Ε (0,+οο) και f(x)<0 για καθε Χ Ε (0,+οο) θα ειναι
-f(x) = e^x-1 <=> f(x) = 1-e^x.
Βημα 5ο.
Αφου ειναι f(x) = 0 για χ = 0 τελικα θα ειναι
f(x) = e^x-1 , χ>=0
η
f(x) = 1-e^x , x>=0
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Στο θεμα μας ομως.Υπαρχει ενα προβλημα στη λυση σου.Οταν θετεις f(x)=y και αντικαθιστας στην εξισωση κανεις την παραδοχη οτι το y E R.
Αυτο ομως δεν στεκει,διοτι το ζητουμενο ειναι ακριβως αυτο να αποδειξετε οτι η f εχει συνολο τιμων το R. Δηλαδη f(R)=R η αλλιως για οποιοδηποτε yo E R μπορει να βρεθει χo Ε R τετοιο ωστε f(xo)=yo. Δηλαδη απεδειξες κατι που ασυνειδητα-ξεφυγε της προσοχης σου εννοω-ειχες δεχτει ηδη ως αξιωματικα αληθες
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.