ALEX_
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο ALEX_ αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Επαγγέλεται Μαθηματικός. Έχει γράψει 1,466 μηνύματα.
17-04-07
19:59
“Αν ανοιξεις αυτό:
https://users.uoa.gr/~pkrikel/Geometric%20Constructions.pdf
Στις σελίδες 3-4 θα βρεις μια σύγχρονη απόδειξη ότι η τριχοτόμηση τυχαίας γωνίας δεν είναι εφικτή με κανόνα και διαβήτη.
Σύμφωνα με αυτό το δεδομένο, το πρόβλημα έχει λυθεί, διότι μπορούμε να γνωρίζουμε για ποιες ακριβώς γωνίες είναι εφικτή η τριχοτόμηση με κανόνα και διαβήτη, και για ποίες δεν είναι.”
Το παραπάνω απόσπασμα είναι από κάποιο άλλο forum κάποιας σχολής μαθηματικών. Αναφέρεται λοιπόν ότι μπορούμε να γνωρίζουμε ποτέ είναι εφικτή και ποτέ όχι. Πως το καταφέρνουμε αυτό; πως μπορούμε να γνωρίζουμε ποιες γωνίες τριχοτομούνται;
Ρωτώ τώρα εσένα που είσαι μαθηματικός. Αν ανοίξεις τη σελίδα θα δεις πως δοκιμάζουν την γωνία των 20 μοιρών και αποδεικνύουν ότι δε γίνεται. Μπορεις εσυ να δοκιμάσεις τη γωνία των 27 μοιρών; και γενικά κάθε γωνία της μορφής θ=540/(6κ+2), οπου κ=1,2,3,…
Κοίτα φίλε μου...
Η απόδειξη του ότι δεν γίνεται η τριχοτόμηση με κανόνα και διαβήτη βασίζεται σε ένα θεώρημα που απέδειξε ο Wantzel το 1837 και το οποίο λέει το εξής:
Aν ένας αριθμός είναι κατασκευάσιμος με κανόνα και διαβήτη τότε είναι ρίζα ενός πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές, ανάγωγου στο σύνολο των πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές που ο βαθμός του είναι δύναμη του 2.
Με τον τρόπο λοιπόν που σωστά παρουσιάζεται στο άρθρο από το λινκ που έβαλες,είναι φανερό ότι το πολυώνυμο που προκύπτει είναι ανάγωγο (αποδεικνύεται εύκολα με σχήμα Horner),άρα λοιπόν η ρίζα του (που είναι το συνημίτονο της γωνίας) δεν μπορέι να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη σύμφωνα με τον Wantzel.Η μόνη περίπτωση στην οποία μπορεί να γίνει αυτό είναι να μην είναι ανάγωγο το πολυώνυμο που προκύπτει,θα πρέπει δηλαδή το συν να είναι 0,άρα να έχουμε γωνία 90,180,270 κλπ.Αυτές λοιπόν οι γωνίες τριχοτομούνται με κανόνα και διαβήτη.
ΥΓ: Καθαρά από περιέργεια,το θ=540/(6κ+2) από πού σου προέκυψε?
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ALEX_
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο ALEX_ αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Επαγγέλεται Μαθηματικός. Έχει γράψει 1,466 μηνύματα.
16-04-07
23:15
Δηλαδή Alex αν σου έλεγα ότι μπορούμε να τριχοτομήσουμε οποιαδήποτε γωνία θ=540/(6κ+2), όπου κ=1,2,3,… θα σου φαινόταν παράλογο;;;
Βέβαια με συγκεκριμένη ευκλείδεια μέθοδο πάντα!
Φυσικά όχι!
Με κανόνα και διαβήτη όμως,ναι,δεν γίνεται!
Είναι μάλιστα αξιοπερίεργο ότι ακόμα πολλοί ερασιτέχνες μαθηματικοί και γεωμέτρες προσπαθούν να το καταφέρουν ενώ έχει ήδη αποδειχθεί (από το χίλια οχτακόσια κάτι νομίζω) ότι δεν γίνεται!
Πρόσεξε τώρα...πάρα πολλές μέθοδοι έχουν παρουσιαστεί κατά καιρούς.Μερικές από αυτές το καταφέρνουν αλλά με απόκλιση μέχρι και 1% κάποιες.Άρα για τα μαθηματικά...δεν το καταφέρνουν.
Άλλες πάλι το καταφέρνουν αλλά (αν προσέξεις,το ανέφερα και πιο πάνω) χωρίς να χρησιμοποιούν τους κανόνες του "παιχνιδιού" σωστά.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ALEX_
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο ALEX_ αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Επαγγέλεται Μαθηματικός. Έχει γράψει 1,466 μηνύματα.
16-04-07
12:28
Γνωρίζουμε ότι κάποια τυχαία γωνία είναι αδύνατον να τριχοτομηθεί με κανόνα και διαβήτη. Γωνίες όμως γνωστές όπως των 90 μοιρών, η των 180, η ακόμα και των 27 μοιρων μπορούν να τριχοτομηθούν. Υπάρχει κάποιος τύπος που να μας δίνει την τιμή τέτοιων γωνιών που μπορούν να τριχοτομηθούν;
Ομολογώ ότι δεν καταλαβαίνω ακριβώς τι θες να πεις.
Όπως σωστά είπες χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη είναι αδύνατον να τριχοτομήσουμε γωνία,και όσοι το κάναν "κλέψαν",δεν ακολουθήσαν τους κανόνες του προβλήματος δηλαδή.
Ανακεφαλαιώνοντας...
Με κανόνα και διαβήτη δεν μπορούμε να τριχοτομήσουμε γωνία.
Με άλλες μεθόδους,μπορούμε.
Ελπίζω να βοήθησα αν και δεν κατάλαβα καλά την απορία σου.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.