tsarachaf
Περιβόητο μέλος
Ο Allah 1/3 MEΤΣ αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 31 ετών, επαγγέλεται Φοιτητής/τρια και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 4,366 μηνύματα.
16-06-11
12:22
Οσον αφορα το συμπαν, το ΟΡΑΤΟ συμπαν εχει ορια τοσο χρονικα οσο και χωρικα.
Μιλάς για σταθερά όρια;;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
tsarachaf
Περιβόητο μέλος
Ο Allah 1/3 MEΤΣ αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 31 ετών, επαγγέλεται Φοιτητής/τρια και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 4,366 μηνύματα.
14-06-11
16:11
ε;
Δηλαδή το διάβασα όλο, αλλά δε μπορώ να καταλάβω σε τι θα με ωφελήσει όλη αυτή η γνώση. Ότι δε θα μπορέσω να αποκτήσω ποτέ 1.000.000 ευρώ;
Όχι αλήθεια, μόνο αυτό μου έμεινε. Αλλά από την άλλη, εγώ και τα μαθηματικά είχαμε πάρει διαζύγιο από το δημοτικό οπότε, καλύτερα να γυρίσω στην άγνοια των κοινών θνητών...
To κείμενο αυτό είναι ένα πάρα πολύ καλό παράδειγμα για να πάρουμε μία πολύ αμυδρή γεύση, της έκτασης των αριθμών...
Το ότι δεν θα αποκτήσεις ποτέ 1.000.000 ευρώ δεν είναι σίγουρο και ήταν απλώς ένα παράδειγμα για να σε βοηθήσει να αντιληφθείς το τι είναι το 1.000.000
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
tsarachaf
Περιβόητο μέλος
Ο Allah 1/3 MEΤΣ αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 31 ετών, επαγγέλεται Φοιτητής/τρια και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 4,366 μηνύματα.
14-06-11
13:53
Μαλλον εχει χαμηλη αυτοεκτιμηση. Καλα το ανελυσες μην ανησυχεις!!!
Όχι, απλώς έχει χαμηλή εκτίμιση στα δικά μας μυαλά...
Βέβαια, το μέγα ερώτημα που τίθεται τότε, είναι γιατί έκατσε να κάνει αυτή την ανάλυση αφού δεν περιμένει να καταλάβει κανείς μας??
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
tsarachaf
Περιβόητο μέλος
Ο Allah 1/3 MEΤΣ αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 31 ετών, επαγγέλεται Φοιτητής/τρια και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 4,366 μηνύματα.
14-06-11
12:10
Ο ανθρωπινος εγγεφαλος μπορει να επεξεργαστει αριθμους μεχρι περιπου το 5. Αυτο ειναι το οριο αμμεσης διαισθητικης οπτικοποιησης που εχουμε. Απο εκει και περα οι ποσοτητες ειναι "πολυ" "περισοτερο" "πολυ περισοτερο" η κατι τετοιο.
Για παραδειγμα φανταστητε τρια μηλα. Αυτο ειναι σχετικα ευκολο. Τριαντα? Αυτο που φανταζεστε ειναι "αρκετα" μηλα αλλα δεν ξερουμε οτι ειναι τριαντα, αν και εχουμε μια διαισθητικη αποψη για το ποσο ειναι το τριαντα. Παραδειγμα μεσα στο μυαλο μας μπορουμε να ξεχωρισουμε τριαντα απο σαρραντα μηλα.
Αν φανταστουμε τριακοσια μηλα? Εκει καπου χανεται ακομα και η αισθηση ογκου η ποσοτητας. Ειναι απλα "παρα πολλα". Τριακοσια η τριακοσια δεκα δεν μας κανει ιδιαιτερη διαφορα.
Αλλα ποσο μεγαλοι μπορουν να γινουν οι αριθμοι?
Απειρα μεγαλοι φυσικα, αλλα ας δουμε μερικους μεγαλους αριθμους και να προσπαθησουμε καπως να τους καταταξουμε. Στο τελος θα περιγραψω τον μεγαλυτερο αριθμο που εχει χρησημοποιηθει ποτε σε μαθηματικη αποδειξη. Τον αριθμο του Graham.
Ας ξεκινησουμε με το ενα εκατομμυριο. Ποσο μεγαλο ειναι το ενα εκατομμυριο.
Οι περισοτεροι ανθρωποι δεν εχουν καλη αντιληψη του ποσο μεγαλο ειναι.
Ενα εκατομμυριο ευρω ειναι ενας μισθος της ταξης των 8.300ε το μηνα. Για δεκα χρονια. Οι περισοτεροι ανθρωποι δεν θα εχουν ποτε τετοιο εισοδημα. Ενας υπαλληλος που παιρνει τα 700ε του δεν θα βγαλει ΠΟΤΕ στη ζωη του 1.000.000 ευρω.
Αλλα το 1.000.000 ειναι μικρος αριθμος. Μπορουμε ομως να τον τοποθετησουμε στο μυαλο μας.
Το 1.000.000.000 (ενα δισεκατομμυριο) απο την αλλη δυσκολα, το μυαλο μας δεν μπορει να τυλιχθει γυρω απο αυτο τον αριθμο αλλα μπορουμε για παραδειγμα να τον κατανοησουμε στα πλαισια αναλογιων και ταξεων μεγεθους γιατι ειναι παραδειγμα το ενα τριακοστο πεμπτο του ελληνικου ελληματος.
Αλλα το ενα δισσεκατομμυριο ειναι πολυ μικρο και αυτο.
Απο δω και μπρος για λογους ευκολιας θα συμβολιζουμε τους αριθμους με δυναμεις.
Για παραδειγμα
10^2=100 τα λεφτα που παιρνει την ωρα ενας ψυχιατρος
10^3=1000 τα λεφτα που παιρνει ενας δημοσιος υπαλληλος το μηνα (μεσες ακρες)
10^4=10.000 το κοστος ενος μικρου αυτοκινητου
10^5=100.000 το κοστος ενος ακριβου αυτοκινητου
10^6=1.000.000 το κοστος ενος ακριβου σπιτιου
...
10^9=1.000.000.000 το ενα πεμπτο της υπαρξης της γης
10^10=10.000.000.000 περιπου η ηλικια του συμπαντος
...
...
10^90=περιπου ο αριθμος των σωματηδιων που υπαρχουν σε ολοκληρο το ορατο συμπαν.
αλλα ολοι αυτοι οι αριθμοι ειναι ασημαντα μικροι μπροστα στο googol.
ο μαθηματικος ερβιν κεσνερ ρωτησε τον ανηψιο του πως θα ονομαζε τον πολυ μεγαλο αριθμο 10^100 δηλαδη το δεκα με 100 μηδενικα απο πισω του. Και αυτος ειπε googol.
Το googol ειναι ασυληπτα μεγαλος. Μην ξεχναμε οτι με καθε ανοδο του αριθμου του εκθετη η διαφορα δεκαπλασιαζεται συνεπως απο το 10^9 εως το 10^10 εχουμε 9.000.000.000 διαφορα.
Ολα τα σωματηδια του συμπαντος ειναι 10^90 δηλαδη ο αριθμος 10^91 που ειναι μικροτερος απο τον googol εχει διαφορα απο τον αριθμο των σωματηδιων του συμπαντος 9*10^90 δηλαδη αναμεσα στο 10^90 και το 10^91 περιεχονται οι μαζες εννεα συμπαντων.
Αλλα το googol μεσα στη τεραστιοτητα του ειναι πολυ μικρο αλλωστε μπορουμε να το γραψουμε ιδου:
10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000
Γιαυτο σκαρφιστικε ο κεσνερ το googolplex
Δηλαδη 10^googol η διαφορετικααυτος ο αριθμος, δηλαδη το δεκα με googol μηδενικα απο πισω του ειναι μεγαλος. Πολυ πολυ μεγαλος. Ειναι τοσο μεγαλος που δεν γινεται καν να τον γραψουμε. Αν καθε μοριο στο συμπαν αντιστοιχουσε σε ενα μηδενικο του ολα τα μορια του συμπαντος δεν φτανουν για τον γραψουμε και μονο. Αλλα το ποσο πολυ δεν φτανουν ουτε καν ξεκιναει να περιγραφει το ποσο μεγαλος ειναι αυτος ο αριθμος.
Το μηκος του πλανκ ειναι το μικροτερο δυνατο μηκος στο οποιο μπορουμε να χωρισουμε την υλη. Ειναι τοσο πολυ μικρο που η διαμετρος ενος πρωτονιου ειναι για το μηκος του πλανκ οσο η διαμετρος του συμπαντος για το πρωτονιο. Σε ενα ογκο περιπου 3 κυβικων εκατοστων λοιπων υπαρχουν ενα googol χωροι πλανκ. Ολοκληρο το συμπαν εχει ως εκ τουτου 10^184 ογκους πλανκ. Το googolpleχ ειναι χαοδος μεγαλυτερο. Αν παιρναμε καθε σωματιδιο του συμπαντος και ψαχναμε ολες τις πιθανες διαταξεις ολων των σωματηδιων του συμπαντος τοτε θα φταναμε περιπου στο ενα googolpleχ
Δυστυχως ειναι εξαιρετικα πολυ μικρο...
Ο αριθμος του graham.
Μπορει το googolpleχ να ειναι τοσο μεγαλο που ακομα και η συγκρηση με το ιδιο το συμπαν ειναι ματαιη, το συμπαν παραειναι μικρο για να χωρεσει οχι τον αριθμο καθεαυτο αλλα ουτε καν την ΓΡΑΜΜΕΝΗ μορφη του.
Ομως η διαδικασια παρασκευης του googolpleχ ειναι αντιληπτη απο το ανθρωπινο μυαλο, οχι ο αριθμος αλλα η κατασκευη του αν μη τι αλλο. Πολυ ευκολα θα μπορουσαμε να φτιαξουμε ενα ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ αριθμο, για παραδειγμα το
δηλαδη το ενα με googolpleχ^googolpleχ μηδενικα. Ειναι τελειως ασυληπτο, αλλα σαν κατασκευη ακομα παλευεται.
Αλλα ακομα και αυτο ειναι μικρο.
Ενας τροπος να γραφουμε μεγαλους αριθμους ειναι οι δυναμοπυργοι. Δηλαδη δυναμεις πανω σε δυναμεις.
Για παραδειγμα:
αυτο ειναι το τρια υψομενο σε ενα αριθμο που ειναι το τρια στη τριτη δηλαδη 27, αυτοι οι αριθμοι ξεφευγουν πολυ γρηγορα. Τοειναι δηλαδη 3^27 που ειναι 7,625,597,484,987 (7 δισεκατομμυρια κτλ).
Ετσι ο αριθμοςειναι
Στον συμβολισμο του knuth για ευκολια αυτο γραφετε ως εξις:
Πρακτικα δηλαδη το τρια ειναι η βαση και το πεντε δειχνει ποσο ψηλα θα φτανει το πυργακι με τα τριαρια.
Αλλα μπορουμε να παμε και παρακατω, να ορισουμε αυτο:
εδω το τρια μετα το τριτο βελακι δειχνει ποσες φορες θα κανουμε τη διαδικασια με τα δυο βελακια δηλαδη ποσο μεγαλο θα ειναι το πυργακι με τα τριαρια.
Για να γινω πιο σαφης:
και ετσι
δηλαδη εχουμε εναν αριθμο που εχει σαν βαση το τρια υψομενο σε ενα πυργακι απο 3^27 τριαρια, το πυργακι του εχει υψος 7,625,597,484,987 τριαρια το ενα πανω στο αλλο.
Ξαφνικα το googolpleχ δειχνει καπως μικρο.
Αλλα ο αριθμος του graham ειναι ακομα μεγαλυτερος...
Γιατι οπως ορισαμε τα τρια βελακια μπορουμε να ορισουμε και ενα τεταρτο βελακι. Το οποιο θα δειχνει ποσες φορες θα επαναλαβουμε τα τρια βελακια, τα οποια με τη σειρα τους δειχνουν ποσο ψηλο θα ειναι το πυργακι.
Ο αριθμος
ειναι τοσο μεγαλος που ακομα και το ποσο ψηλο ειναι το πυργακι του δεν μπορει καν να γραφει.
ειναι πρακτικα ενας αριθμος ο οποιος εχει ενα πυργακι απο τριαρια που ειναι
ψηλο
Ειμαι πολυ σιγουρος οτι η ικανοτητα σας να αντιλαμβανεστε ακομα και την ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ αυτου του αριθμου με τα τεσσερα βελακια εχει χαθει.
Αλλα ο αριθμος του Graham ειναι ακομα μεγαλυτερος.
Οριζεται ως εξις:
G1 =
G2 =
G3 =
G4 =
Αυτη η διαδικασια πρεπει να γινει ΕΞΗΝΤΑ ΤΡΕΙΣ ΦΟΡΕΣ και ΤΟΤΕ εχουμε τον αριθμο του Graham που ειναι το ανω οριο μιας λυσης στην θεωρια Ramsey.
Ο αριθμος αυτος ειναι τοσο μεγαλος που κανει την εννοια του απειρου οπως την εχουν οι περισοτεροι ανθρωποι μεσα στο κεφαλι τους να μοιαζει μικρη.
Ειναι τοσο μεγαλος που ΚΑΝΕΝΑΣ δεν μπορει να τον οπτικοποιησει η εστω να τον φανταστει με οποιοδηποτε τροπο, μπορουμε να τον κατασκευασουμε αλλα χωρις ουσιαστικη εποπτια της κατασκευης.
Το περιεργο πραγμα ειναι το εξις, ο αριθμος του graham απεχει απο το απειρο οσο το 1 απεχει απο το απειρο...
Ξαφνικα οι διαλεξεις των θρησκευωμενων περι "απειρου" θεου χανουν το νοημα τους...
Όντως, όλη η ανάλυση είναι πραγματικά πάρα πολύ ωραία για να προσπαθήσουμε απλώς να αντιληφθούμε λίγο καλύτερα τους αριθμούς, αλλά το τέλος δεν δένει καθόλου με το υπόλοιπο ρε συ...
Δεν διαφωνώ ούτε με αυτό αλλά δεν κολλάει...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.