29-12-07
09:52
Είμαι περίεργος Μινκόφσκι, τι θα σου απαντήσει αυτός που είπε "Επειδή κάθε όρος της ακολουθίας είναι γνήσια μικρότερος του 1..". Αλήθεια ποιος έκανε αυτή τη διατύπωση για να μην ψάχνω να του δώσω συγχρητήρια;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
25-12-07
13:45
Το παράδοξο καταργείται με μία απλή πρόταση του μέγιστου όλων των μαθηματικών, όλων των εποχών, Ευκλείδη και δεν υπάρχει ανάγκη επίκλησης της έννοιας του χρόνου που δεν μπορεί να ξεφύγει από το εκάστοτε τώρα αναφοράς και να δηλωθεί σαν φυσικό μέγεθος. Πέντε ώρες το "πήγαινε", πέντε ώρες το "έλα" μας κάνουνε "τώρα". Δεν αποθηκεύεται ο χρόνος και δεν μπορεί να παρασταθεί σαν ανυσματικό μέγεθος, παρά το ότι έτσι διατυπώνεται. Γι αυτό και ο χρόνος δεν συμμετέχει στις μαθηματικές πράξεις, παρά το γεγονός ότι είναι σύνηθες δι αυτών να "εκτιμάται".
Λέει ο Ευκλείδης στους Όρους του:
Κάθε αριθμός, εκτός της μονάδας, είναι συγκείμενον πλήθος μονάδων". Αξίωμα.
Εάν εμείς δείξουμε αριθμό που δεν είναι συγκείμενον πλήθος π.χ. 1000 μέτρα, σαν 1 χιλιόμετρο, αντιφάσκουμε στον Ευκλείδη και βρίσκει χώρο να γίνει εμβόλιμο το παράδοξο που διατύπωσε ο Ζήνων.
Τα 1000 μέτρα σαν συγκείμενο πλήθος μπορεί να τα διανύσει ο δρομέας χωρίς κανένα παράδοξο εξεταζόμενο και σαν στοιχείο μήκους και σαν χρονικό δεδομένο όπως μπορεί και το 1 μέτρο. Το ακέραιο 1 χιλιόμετρο δεν μπορεί παρά μόνο σαν ακέραιο χιλιόμετρο (όπως ακέραιο είναι και το 1 μέτρο) διότι δεν υπάρχει ακέραιος αριθμός (όπως το 1000, το 37, το 7154 κ.τ.λ.) που να αποτελείται από μέρη είτε μισά, είτε είναι ίσα μεταξύ τους, είτε ανίσα μεταξύ τους. Δεν αθροίζονται ούτε οι μη αρνητικοί αριθμοί σε ακέραιο αριθμό που να τους περιέχει, ούτε τα μήκη σε ακέραιο μήκος που να τα περιέχει (όπως το 1000 σαν 1 χιλιόμετρο) διότι ο ορισμός άθροισης ευθύγραμμων τμημάτων δεν υπάρχει αλλά μεταγγίζεται εκ του τρόπου άθροισης των μη αρνητικών αριθμών, οι οποίοι δεν αθροίζονται σε έναν που να τους περιέχει αξιωματικά του Ευκλείδη.
Δεν είναι ορθό να θελήσουμε να ερμηνεύσουμε το παράδοξο αυτό με τη φυσική, διότι το πρώτο πράγμα που λένε οι μαθηματικοί είναι ότι τα μαθηματικά λειτουργούν αφαιρετικά τη φύσης και δεν υπάρχει επομένως αιτιολογία πρσφυγής στην φύση για ένα καθαρά μαθηματικό πρόβλημα που το λύνει ο Ευκλείδης τόσο απλά και απλά δεν το έχουμε προσέξει με τη χρήση του προφανούς στη θέση της απόδειξης. Λίγη προσοχή χρειάζεται και ο Ζήνων δεν έχει θέση στα μαθηματικά σε ότι αφορά τουλάχιστον το παράδοξό του το οποίο εξαφανίζεται με τον απλό τρόπο που υπέδειξα.
Δεν είναι παράδοξο, να εξετάζουμε το παράδοξο αυτό με τη φυσική και να δεχόμαστε στα μαθηματικά την εκ της φυσικής απόδειξη, ενώ ταυτόχρονα να εγείρονται αντιρήσεις στην δική μου υπόδειξη ότι το πυθαγόρειο δεν ισχύει στη φύση με την επίκληση του αφαιρετικά της φύσης; Προς τι δύο μέτρα και δύο σταθμά εντός του ίδιου αξιωματικού συστήματος, δηλαδή του Ευκλείδειου;
Χρόνια πολλά.
Λέει ο Ευκλείδης στους Όρους του:
Κάθε αριθμός, εκτός της μονάδας, είναι συγκείμενον πλήθος μονάδων". Αξίωμα.
Εάν εμείς δείξουμε αριθμό που δεν είναι συγκείμενον πλήθος π.χ. 1000 μέτρα, σαν 1 χιλιόμετρο, αντιφάσκουμε στον Ευκλείδη και βρίσκει χώρο να γίνει εμβόλιμο το παράδοξο που διατύπωσε ο Ζήνων.
Τα 1000 μέτρα σαν συγκείμενο πλήθος μπορεί να τα διανύσει ο δρομέας χωρίς κανένα παράδοξο εξεταζόμενο και σαν στοιχείο μήκους και σαν χρονικό δεδομένο όπως μπορεί και το 1 μέτρο. Το ακέραιο 1 χιλιόμετρο δεν μπορεί παρά μόνο σαν ακέραιο χιλιόμετρο (όπως ακέραιο είναι και το 1 μέτρο) διότι δεν υπάρχει ακέραιος αριθμός (όπως το 1000, το 37, το 7154 κ.τ.λ.) που να αποτελείται από μέρη είτε μισά, είτε είναι ίσα μεταξύ τους, είτε ανίσα μεταξύ τους. Δεν αθροίζονται ούτε οι μη αρνητικοί αριθμοί σε ακέραιο αριθμό που να τους περιέχει, ούτε τα μήκη σε ακέραιο μήκος που να τα περιέχει (όπως το 1000 σαν 1 χιλιόμετρο) διότι ο ορισμός άθροισης ευθύγραμμων τμημάτων δεν υπάρχει αλλά μεταγγίζεται εκ του τρόπου άθροισης των μη αρνητικών αριθμών, οι οποίοι δεν αθροίζονται σε έναν που να τους περιέχει αξιωματικά του Ευκλείδη.
Δεν είναι ορθό να θελήσουμε να ερμηνεύσουμε το παράδοξο αυτό με τη φυσική, διότι το πρώτο πράγμα που λένε οι μαθηματικοί είναι ότι τα μαθηματικά λειτουργούν αφαιρετικά τη φύσης και δεν υπάρχει επομένως αιτιολογία πρσφυγής στην φύση για ένα καθαρά μαθηματικό πρόβλημα που το λύνει ο Ευκλείδης τόσο απλά και απλά δεν το έχουμε προσέξει με τη χρήση του προφανούς στη θέση της απόδειξης. Λίγη προσοχή χρειάζεται και ο Ζήνων δεν έχει θέση στα μαθηματικά σε ότι αφορά τουλάχιστον το παράδοξό του το οποίο εξαφανίζεται με τον απλό τρόπο που υπέδειξα.
Δεν είναι παράδοξο, να εξετάζουμε το παράδοξο αυτό με τη φυσική και να δεχόμαστε στα μαθηματικά την εκ της φυσικής απόδειξη, ενώ ταυτόχρονα να εγείρονται αντιρήσεις στην δική μου υπόδειξη ότι το πυθαγόρειο δεν ισχύει στη φύση με την επίκληση του αφαιρετικά της φύσης; Προς τι δύο μέτρα και δύο σταθμά εντός του ίδιου αξιωματικού συστήματος, δηλαδή του Ευκλείδειου;
Χρόνια πολλά.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
25-12-07
12:07
Το "μπορεί να θεωρηθεί" σημαίνει ότι "μπορεί και να μη θεωρηθεί".Γιώργος
Και σύμφωνα με το βιβλίο Άλγεβρας Β' Λυκείου μπορεί να θεωρηθεί άθροισμα απείρων όρων γεωμετρικής προόδου το 1/2 + 1/4 + 1/8 + .... = 1.
Το αν αυτή η λύση με κάποια άλλα αξιώματα θα ήταν σωστή ή όχι έχει συζητηθεί στο αντίστοιχο θέμα, οπότε οτιδήποτε περιττό θα φεύγει εκτός θέματος.
Δεν καλύπτεται αξιωματικά με το "μπορεί" το 1/2 + 1/4 + 1/8 + .... = 1.
Αν το δεχθούμε σαν ορθό έρχεται το παράδοξο που εισάγει ο Ζήνων και μας υπενθυμίζει διαρκώς ότι κάνουμε λάθος και το "μπορεί" δημιουργεί παράδοξο, που δεν δημιουργεί το "δεν μπορεί".
Είναι θέμα άποψης, αλλά η μαθηματική άποψη είναι επί τους ασφαλούς αυτή που στηρίζεται σε αξίωμα και όχι σε "μπορεί να θεωρηθεί". Ο καθένας έχει τις απόψεις του και αυτή είναι η δική μου άποψη. Όταν λείπει το αξίωμα στήριξης, η όποια άποψη μπορεί να αφορά όλους επί όλων, αλλά όχι τα μαθηματικά και αυτό ΔΕΝ είναι δική μου άποψη, αλλά των ίδιων των μαθηματικών.
Χρόνια πολλά.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
21-12-07
23:52
Η επαλήθευση γίνεται μόνο με την επανάληψη της πράξης και όχι αντίστροφα;io-io
χ=1 =>
χ/3=0.3333... =>
χ=0.9999..
Επαληθευση!
Αληθεια, απο που και ως που μια αποδειξη χρειαζεται να επαληθευτει και αναποδα για να ισχυει?!
Δεν επαληθεύουμε π.χ. τη διαίρεση κάνοντας πολλαπλασιασμό το γινόμενο με τον διαιρέτη. Πως θα ξέρουμε ότι η πράξη είναι ορθή;
Αν πούμε 20:4=5 το 5Χ4=20 δεν είναι αντίστροφή (ανάποδα το λες εσύ) πράξη;
Τι απορία είναι αυτή; Αν δεν επιθυμείς μην την επαληθεύεις.
Αντιστρέφοντας την πράξη βγάζω χ=1
Εσύ βγάζεις χ=0,9999
Δεν βρίσκεις κάποια αντίφαση από την ανυπαρξία μονοσήμαντου αποτελέσματος; Ή εγώ έχω λάθος ή εσύ. Αν επιθυμείς να σου πω το τη κοινή έννοια που προβλέπει το μονοσήμαντο αποτέλεσμα ευχαρίστως.
Λες:
χ=1 =>
χ/3=0.3333... =>
χ=0.9999..
Για πρόσεξε:
χ=1 =>
χ/3=0.3333... =>
3(χ/3)=3Χ 0,33333… =>
3χ/3=0,9999… =>
χ=0,9999 =>
Επομένως για να επαληθεύσουμε με απόλυτες τιμές αντικαθιστούμε στην 3χ/3=0,9999… όπου χ=0,9999… =>
3Χ0,99999…/3 = 0,9999… =>
3/3=0,9999…/0,9999… =>
3/3=χ/χ
1=χ=1
Μια πράξη γυρνάς πίσω και εφαρμόζεις το αποτέλεσμά σου και βλέπεις….
Εκτός και κάνω κάπου λάθος σαν μη μαθηματικός που δεν αποκλείεται και σε παρακαλώ να μου το υποδείξεις. Άνθρωπος είμαι και λάθος μπορώ να κάνω και συγγνώμη να ζητήσω.
io-io μου ζήτησες κάτι σχετικά με τα εφαπτόμενα σημεία και σχήματα.
Ίσως δεν πρόσεξες, αλλά σου έχω απαντήσει.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
21-12-07
20:16
yioryos
α = 0,999... => 10α = 9,999... => 10α - α = 9,999... - 0,999... => 9α = 9 => α = 1
Επαλήθευση της απόδειξης!!!!]ifrit[
Δεν ισχύει πάντως
Ξεκινάμε από το αποδεδειγμένο και πρέπει να φθάσουμε στο δοσμένο σαν υποχρέωση προς το μονοσήμαντο του αποτελέσματος. Δηλονότι εκκινώντας από το χ=1 να φθάσουμε αντίστροφα στο χ=0,9999....
χ=1
10χ1=10
10χ-χ=10-1
9χ=9
χ=1
Που βλέπει κανείς να φθάνουμε με την τόσο απλή αυτή απόδειξη από το χ=1 στο χ=0,9999…και στο μονοσήμαντο του αποτελέσματος μέσα από την επαλήθευση; Ή μήπως απαγορεύεται να κάνουμε επαλήθευση;
Που βλέπει κανείς να υπεισέρχεται το 0,9999… στην επαλήθευση της απόδειξης;
Από το χ=1 φτάνω πάλι στο χ=1 και όχι στο χ=0,9999….. από το οποίο εκκινείς. Δεν υπάρχει μονοσήμαντο αποτέλεσμα.
Όταν «ονομάζεις» το 0,9999… = χ, δηλαδή έναν ακέραιο αριθμό που μπορείς να τον κάνεις πράξη, του καταργείς το άπειρο που είναι και έτσι μπορείς να κάνεις την πράξη. Μετατρέπεις - "αθώα" - σε ακέραιο αριθμό το άπειρο.
Το μονοσήμαντο του αποτελέσματος που δεν επαληθεύει την απόδειξη, αποδεικνύει ότι πρόκειται για τρικ.
Όταν ήμαστα παιδιά λέγαμε για να δείξουμε ότι είμαστε μάγοι:
Βάλε έναν αριθμό στο νου σου και μη μου τον λες.
Εσύ έβαζες π.χ. το 10.
Σου έλεγε μετά, βάλε και 6 δικά μου και πρόσθεσέ τα.
Εσύ έκανες την πρόσθεση και έλεγες μέσα σου "16".
Πέτα τα μισά στη θάλασσα, σου έλεγε ο "μάγος".
Εσύ έμενες με 8.
"Πάρε όσα έχουν μείνει από τα δικά σου", συνέχιζε ο "μάγος".
Εσύ είχε πετάξει 5 στη "θάλασσα", έβγαζες και τα άλλα 5 και σου μένανε 3.
"Σου έμειναν 3" σε αιφνιδίαζε ο "μάγος", που δεν μπορούσες να καταλάβεις πως γίνεται!
Το χ εκφράζει ακέραιο αριθμό 1 εξαρχής που δεν είναι.
Βέβαια όποιος θέλει πιστεύει ότι νομίζει σωστό, έστω και χωρίς επαλήθευση.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.