03-08-07
14:57
Έστω p>3 πρώτος αριθμός. Να αποδειχθεί ότι ο p^2-1 είναι πολλαπλάσιο του 6
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
01-08-07
23:31
Ας υποθέσουμε ότι ο καθένας βοσκός έχει χ γελάδια.
Τότε συνολικά έχουν 2χ γελάδια και τα πουλάνε 2χ ευρώ το ένα
Παίρνουν (2χ)^2 = 4χ^2 ευρώ
Προφανώς αγόρασαν περιττό πλήθος προβάτων (αφού περισσεύει ένα στο τέλος)
Έστω λοιπόν 2ν+1 πρόβατα, που κοστίζουν (2ν+1)*10
Αν το κατσίκι κοστίζει κ ευρώ (κ<10), τότε έχουμε
(2ν+1)*10 + κ = 4χ^2, απ όπου φαίνεται ότι ο κ είναι άρτιος, έστω κ=2λ =>
(2ν+1)*10 + 2λ = 4χ^2 =>
(2ν+1)*5 + λ = 2χ^2 (1)
Το 2ο μέλος είναι άρτιος επομένως θα πρέπει ο λ να είναι περιττός
Αλλά 0<κ<10 => 0<λ<5 => λ=1 ή λ=3
------------------------
Για λ=1 η (1) γράφεται
(2ν+1)*5 + 1 = 2χ^2 =>
10ν+6 = 2χ^2 =>
5ν+3 = χ^2
------------------------
Για λ=3 η (1) γράφεται
(2ν+1)*5 + 3 = 2χ^2 =>
10ν+8 = 2χ^2 =>
5ν+4 = χ^2
------------------------
Παίρνοντας όλα τα τετράγωνα στο modulo 5 βρίσκουμε
0^2 = 0
1^2 = 1
2^2 = 4
3^2 = 4
4^2 = 1
Άρα μόνη αποδεκτή λύση για το λ είναι η λ=3 και επομένως κ=6
Η διαφορά είναι 10-6 = 4€.
Για να είναι δίκαιη η μοιρασιά θα πρέπει αυτός που πήρε το πρόβατο να δώσει στον άλλο 2€ (έτσι ώστε να έχουν και οι δύο από 8€)
Επομένως ο σουγιάς κοστίζει 2€
Τότε συνολικά έχουν 2χ γελάδια και τα πουλάνε 2χ ευρώ το ένα
Παίρνουν (2χ)^2 = 4χ^2 ευρώ
Προφανώς αγόρασαν περιττό πλήθος προβάτων (αφού περισσεύει ένα στο τέλος)
Έστω λοιπόν 2ν+1 πρόβατα, που κοστίζουν (2ν+1)*10
Αν το κατσίκι κοστίζει κ ευρώ (κ<10), τότε έχουμε
(2ν+1)*10 + κ = 4χ^2, απ όπου φαίνεται ότι ο κ είναι άρτιος, έστω κ=2λ =>
(2ν+1)*10 + 2λ = 4χ^2 =>
(2ν+1)*5 + λ = 2χ^2 (1)
Το 2ο μέλος είναι άρτιος επομένως θα πρέπει ο λ να είναι περιττός
Αλλά 0<κ<10 => 0<λ<5 => λ=1 ή λ=3
------------------------
Για λ=1 η (1) γράφεται
(2ν+1)*5 + 1 = 2χ^2 =>
10ν+6 = 2χ^2 =>
5ν+3 = χ^2
------------------------
Για λ=3 η (1) γράφεται
(2ν+1)*5 + 3 = 2χ^2 =>
10ν+8 = 2χ^2 =>
5ν+4 = χ^2
------------------------
Παίρνοντας όλα τα τετράγωνα στο modulo 5 βρίσκουμε
0^2 = 0
1^2 = 1
2^2 = 4
3^2 = 4
4^2 = 1
Άρα μόνη αποδεκτή λύση για το λ είναι η λ=3 και επομένως κ=6
Η διαφορά είναι 10-6 = 4€.
Για να είναι δίκαιη η μοιρασιά θα πρέπει αυτός που πήρε το πρόβατο να δώσει στον άλλο 2€ (έτσι ώστε να έχουν και οι δύο από 8€)
Επομένως ο σουγιάς κοστίζει 2€
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.