ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ
Εκκολαπτόμενο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ
Εκκολαπτόμενο μέλος
Μιλάμε βέβαια για το "ενεστωτικό" άπειρο (αυτό το οποίο μπορούμε να πούμε ανά πάσα στιγμή ότι υπάρχει) και όχι για το εν δυνάμει (μία άπειρη επανάληψη κάποιας περιοδικής διαδικασίας).
Για το εν δυνάμει δεν νομίζω ότι υπάρχουν ενστάσεις ότι υπάρχει, αλλά μόνο εσχατολογικά μπορούμε να το δούμε ως άπειρο (σε κάθε χρονική στιγμή θα έχει καλύψει μόνο πεπερασμένο μέρος της "διαδρομής" του).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ
Εκκολαπτόμενο μέλος
Για να συνεχιστεί κάπως το θεματάκι: πιστέυετε στο άπειρο; (Με οποιαδήποτε έννοια). Ή είναι εξ ορισμού αυτό που δεν μπορούμε με τπτ να προσεγγίσουμε; (αυτή είναι η μόνη δυνατή "περιγραφή" του; )
Ελάτε Ρεμπ, εποτε, Μισέλ... τα πάντα όλα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ
Εκκολαπτόμενο μέλος
Ένα σύνολο Α θα λέμε ότι έχει "μικρότερο ή ίσο" πληθάριθμο από το σύνολο Β, αν υπάρχει συνάρτηση f από το Α στο Β, η οποία να είναι ένα-προς-ένα.
Επειδή οι πληθάριθμοι και η θεωρία τους αναπτύχθηκε κυρίως για τα τερατουργήματα που λέγονται "άπειρα σύνολα", πρέπει να σημειωθεί ότι όταν λέμε "μικρότερο ή ίσο", δεν εννοούμε την διαζευξη, δλδ "ή μικρότερο ή ίσο", αλλά το θεωρούμε σαν ενιαίο ορισμό. Αυτό γίνεται πιο κατανοητό αν πούμε ότι: Αν το Α έχει μικρότερο ή ίσο πλθάριθμο από το σύνολο Β και το σύνολο Β έχει μικρότερο ή ίσο πληθάριθμο από το Α, τότε (ισχύει, αλλά) δεν είναι προφανές ότι το Α έχει ίσο πληθάριθμο με το Β, αλλά πρόκειται για ολόκληρο θεώρημα (συνήθως αναφέρεται ως Shroeder - Bernstein ή Cantor-Bernstein).
Όπως λέει και στην παρέμβασή του σύντροφος Rempeskes, αποδεικνύεται ότι κάθε σύνολο έχει γνησίως μικρότερο (δλδ "μικρότερο ή ίσο" αλλά όχι ίσο) πληθάριθμο από το δυναμοσύνολό του. Επίσης το δυναμοσύνολο του συνόλου των φυσικών αριθμών (το σύνολο όλων των υποσυνόλων του συνόλο αυτού) αποδεικνύεται ότι έχει ίσση ισχύ με το σύνολο των πραγματικών αριθμών R.
Το ερώτημα αν υπάρχει σύνολο Χ το οποίο να έχει μεγαλύτερο γνησίως πληθάριθμο από το σύνολο των φυσικών αλλά και μικρότερο γνησίως από το σύνολο των πραγματικών, είναι η υπόθεση του συνεχούς (συγκεκριμένα, η αρνητική απάντηση στην ερώτηση).
Η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς υποθέτει ότι για κάθε άπειρο σύνολο Α, δεν υπάρχει πληθάριθμος ο οποίος να περιέχεται (γνησίως) ανάμεσα στο Α και στο δυναμοσύνολο του Α.
Δεν έχω ιδέα από διαφορικές. Λέω να διαβάσω όταν βγω στη σύνταξη και δεν έχουν φτιάξει ακόμα το γήπεδο στη Φιλαδέλφεια.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ
Εκκολαπτόμενο μέλος
Έλα δάσκαλε.Δηλαδή λες ότι υπάρχει θεώρημα του Καντόρ να υποστηρίζει πως (με βάση την (1) )
Δε γνωρίζω κανένα τέτοιο θεώρημα και θα μου έκανε εντύπωση να υπάρχει, καθώς ο τελευταίος τύπος είναι η "υπόθεση του συνεχούς".
Θα 'θελα να δω εκείνο το θεώρημα που έλεγες, αν και υποπτεύομαι εννοείς το cardinality(X)<cardinality(Powerset(X)).
Το θεώρημα πάει κάπως έτσι: 2^Ν0 είναι προφανώς όλες οι ακολουθίες με όρους 0 ή 1. Σε κάθε μία από αυτές αντιστοιχάμε έναν αριθμό του διαστήματος (0,1), και συγκεκριμένα αυτόν που στο δυαδικό σύστημα γράφεται όπως η ακολουθία μας αφού πρώτα γράψουμε 0 και κόμα (αυτό εμπεριέχει κάποιες τεχνικές δυσκολίες οι οποίες ξεπερνιούνται με κανα-δυο άλλα θεωρηματάκια. Τέσπα). Έχουμε έτσι μια 1-1 και επί συνάρτηση από το 2^Ν0 στο (0, 1), το οποίο όπως λες κι εσύ στο πρώτο ποστ είναι ισοδύναμο με το σύνολο των πραγματικών αριθμών (όπως και κάθε διαστηματάκιον, οσοδήποτε μικρό). Άρα το δυναμοσύνολο των φυσικών είναι οι πραγματικοί.
Η έκφραση 2^Ν0 = Ν1 είναι η υπόθεση τού συνεχούς, με δεδομένο όμως ότι Ν1 είναι όχι οι πραγματικοί αλλά ο ελάχιστος μη-αριθμήσιμος άπειρος πληθάριθμος.
Υ.Γ. Όταν λες "τί να κάνω που είμαι άπειρος" εννοείς Ν0 ή Ν1;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ
Εκκολαπτόμενο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ
Εκκολαπτόμενο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ
Εκκολαπτόμενο μέλος
Όταν λες οτι το Ν1 είναι το πλήθος των πραγματικών;......Mα δε γράφω πουθενά Ν1=c
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ
Εκκολαπτόμενο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ
Εκκολαπτόμενο μέλος
Απλά, με Ν1 δεν συμβολίζουμε ό,τι έχει ισχύ ίση με τους πραγματικούς αριθμούς (ή με το δυναμοσύνολο των φυσικών, καθώς αποδεικνύεται ότι αυτά είναι ισοδύναμα). Συμβολίζουμε τον αμέσως επόμενο πληθάριθμο (αριθμό, με την ευρύτερη έννοια, που μετράει πλήθος, που απαντάει δλδ στην (γενικευμένη, χωρίς να περιμένουμε δλδ απάντηση μέσω φυσικού αριθμού) ερώτηση "πόσα")) από αυτόν των φυσικών αριθμών . Κάτι τέτοιο έχει νόημα εφόσον κάθε σύνολο πληθαρίθμων έχει ελάχιστο (το πως ορίζεται αυτή η διάταξη είναι ψιλο-προφανής.)
Την ισχύ των πραγματικών τη συμβολίζουμε συνήθως με c (ελέω continuus).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.