0,999... = 1 ;

yioryos
α = 0,999... => 10α = 9,999... => 10α - α = 9,999... - 0,999... => 9α = 9 => α = 1

Click για ανάπτυξη...

]ifrit[
Δεν ισχύει πάντως

Click για ανάπτυξη...

Επαλήθευση της απόδειξης!!!!
Ξεκινάμε από το αποδεδειγμένο και πρέπει να φθάσουμε στο δοσμένο σαν υποχρέωση προς το μονοσήμαντο του αποτελέσματος. Δηλονότι εκκινώντας από το χ=1 να φθάσουμε αντίστροφα στο χ=0,9999....

χ=1
10χ1=10
10χ-χ=10-1
9χ=9
χ=1

Που βλέπει κανείς να φθάνουμε με την τόσο απλή αυτή απόδειξη από το χ=1 στο χ=0,9999…και στο μονοσήμαντο του αποτελέσματος μέσα από την επαλήθευση; Ή μήπως απαγορεύεται να κάνουμε επαλήθευση;

Που βλέπει κανείς να υπεισέρχεται το 0,9999… στην επαλήθευση της απόδειξης;
Από το χ=1 φτάνω πάλι στο χ=1 και όχι στο χ=0,9999….. από το οποίο εκκινείς. Δεν υπάρχει μονοσήμαντο αποτέλεσμα.
Όταν «ονομάζεις» το 0,9999… = χ, δηλαδή έναν ακέραιο αριθμό που μπορείς να τον κάνεις πράξη, του καταργείς το άπειρο που είναι και έτσι μπορείς να κάνεις την πράξη. Μετατρέπεις - "αθώα" - σε ακέραιο αριθμό το άπειρο.
Το μονοσήμαντο του αποτελέσματος που δεν επαληθεύει την απόδειξη, αποδεικνύει ότι πρόκειται για τρικ.

Όταν ήμαστα παιδιά λέγαμε για να δείξουμε ότι είμαστε μάγοι:

Βάλε έναν αριθμό στο νου σου και μη μου τον λες.
Εσύ έβαζες π.χ. το 10.

Σου έλεγε μετά, βάλε και 6 δικά μου και πρόσθεσέ τα.
Εσύ έκανες την πρόσθεση και έλεγες μέσα σου "16".

Πέτα τα μισά στη θάλασσα, σου έλεγε ο "μάγος".
Εσύ έμενες με 8.

"Πάρε όσα έχουν μείνει από τα δικά σου", συνέχιζε ο "μάγος".

Εσύ είχε πετάξει 5 στη "θάλασσα", έβγαζες και τα άλλα 5 και σου μένανε 3.

"Σου έμειναν 3" σε αιφνιδίαζε ο "μάγος", που δεν μπορούσες να καταλάβεις πως γίνεται!

Το χ εκφράζει ακέραιο αριθμό 1 εξαρχής που δεν είναι.

Βέβαια όποιος θέλει πιστεύει ότι νομίζει σωστό, έστω και χωρίς επαλήθευση.

io-io
χ=1 =>
χ/3=0.3333... =>
χ=0.9999..

Επαληθευση!

Αληθεια, απο που και ως που μια αποδειξη χρειαζεται να επαληθευτει και αναποδα για να ισχυει?!

Click για ανάπτυξη...

Η επαλήθευση γίνεται μόνο με την επανάληψη της πράξης και όχι αντίστροφα;
Δεν επαληθεύουμε π.χ. τη διαίρεση κάνοντας πολλαπλασιασμό το γινόμενο με τον διαιρέτη. Πως θα ξέρουμε ότι η πράξη είναι ορθή;
Αν πούμε 20:4=5 το 5Χ4=20 δεν είναι αντίστροφή (ανάποδα το λες εσύ) πράξη;
Τι απορία είναι αυτή; Αν δεν επιθυμείς μην την επαληθεύεις.
Αντιστρέφοντας την πράξη βγάζω χ=1
Εσύ βγάζεις χ=0,9999
Δεν βρίσκεις κάποια αντίφαση από την ανυπαρξία μονοσήμαντου αποτελέσματος; Ή εγώ έχω λάθος ή εσύ. Αν επιθυμείς να σου πω το τη κοινή έννοια που προβλέπει το μονοσήμαντο αποτέλεσμα ευχαρίστως.
Λες:
χ=1 =>
χ/3=0.3333... =>
χ=0.9999..

Για πρόσεξε:
χ=1 =>
χ/3=0.3333... =>
3(χ/3)=3Χ 0,33333… =>
3χ/3=0,9999… =>
χ=0,9999 =>
Επομένως για να επαληθεύσουμε με απόλυτες τιμές αντικαθιστούμε στην 3χ/3=0,9999… όπου χ=0,9999… =>

3Χ0,99999…/3 = 0,9999… =>
3/3=0,9999…/0,9999… =>
3/3=χ/χ
1=χ=1
Μια πράξη γυρνάς πίσω και εφαρμόζεις το αποτέλεσμά σου και βλέπεις….
Εκτός και κάνω κάπου λάθος σαν μη μαθηματικός που δεν αποκλείεται και σε παρακαλώ να μου το υποδείξεις. Άνθρωπος είμαι και λάθος μπορώ να κάνω και συγγνώμη να ζητήσω.

io-io μου ζήτησες κάτι σχετικά με τα εφαπτόμενα σημεία και σχήματα.

Ίσως δεν πρόσεξες, αλλά σου έχω απαντήσει.

To 0,99999... ονειρεύεται να γίνει 1.

Δεν είναι παράδοξο...είναι ελπίδα...

Και οι αριθμοί ονειρεύονται..

Παίζουν μ'εμάς..αυτοί μας υπολογίζουν εν αγνοία μας ενώ όταν τους υπολογίζουμε εμείς εκείνοι το ξέρουν (πάντα)...

Όσο περισσότερο ασχολήσθε με τους άρρητους τόσο θα γίνονται αυτό που προσεγγίζουν.

Τί θα γίνει με τους άρρητους ανθρώπους; Είμαστε κλάσματα που 'χουν ανάγκη το πηλίκο τους;

Είμαστε ατελείς διαιρέσεις που καιγόμαστε για το υπόλοιπο ή ψάχνουμε για έναν κοινό διαιρέτη που θα μας διαμελίσει γλυκά ρίχνοντας άπλετο φώς στη ζωούλα μας;


Το αξιοσημείωτο είναι πως αν κάποιος ψάξει αρκετά ανάμεσα στα δεκαδικά ψηφία ενός άρρητου αριθμού π.χ του π θα βρει τον αριθμό της ταυτότητάς του, τον αριθμό του διαβατηρίου του, τον αριθμό του τηλεφώνου του, την ημερομηνία γεννήσεώς του και γενικά οποιονδήποτε αριθμό. Για παράδειγμα η ημερομηνία "28 Oκτωβρίου 1940", γραμμένη στη μορφή 28101940, εμφανίζεται μετά από 7.641.792 δεκαδικά ψηφία:



Οι διάφορες φυσικές ποσότητες και σταθερές είναι μόνο κατά προσέγγιση προσδιορισμένες, δηλαδή είναι γνωστά μόνο τα αρχικά από τα δεκαδικά τους ψηφία. Πρακτικά ποτέ το δεκαδικό μέρος μιας φυσικής ποσότητας δεν φαίνεται να τερματίζεται ή να εμφανίζει περιοδικότητα. Γι' αυτό θεωρούμε ότι οι φυσικές ποσότητες παριστάνονται με άρρητους αριθμούς (όπως η επιτάχυνση της βαρύτητας g, η σταθερά της παγκόσμιας έλξης G κ.ά.).


Συνήθως η αδυναμία να προσδιορίσουμε ακριβώς μια φυσική ποσότητα δεν είναι κρίσιμη. Π.χ. τα διαστημόπλοια που στέλνονται στη σελήνη φτάνουν στον προορισμό τους παρότι δεν γνωρίζουμε ακριβώς τις σταθερές g και G.

Σε μερικές περιπτώσεις όμως η γνώση μόνο περιορισμένου αριθμού δεκαδικών ψηφίων των διάφορων άρρητων ποσοτήτων δημιουργεί μεγάλες δυσκολίες. Έτσι, οι μετεωρολόγοι δεν θα μπορέσουν ποτέ να κάνουν ακριβείς προβλέψεις για χρονικά διαστήματα μεγαλύτερα των 10 περίπου ημερών, όσο καλές μετρήσεις κι αν έχουν.


Για κάθε περιστροφή γύρω απ' τον ήλιο η γη ολοκληρώνει ν περιστροφές γύρω από τον εαυτό της. O αριθμός ν είναι άρρητος και περίπου ίσος με 365,2422. Aυτό σημαίνει ότι ένα έτος δεν έχει 365 ούτε 366 ημέρες αλλά άρρητο πλήθος ημερών και επομένως δεν είναι δυνατόν να υπάρξει απόλυτα ακριβές ημερολόγιο.


Tο ημερολόγιο που χρησιμοποιεί ο δυτικός κόσμος (το Γρηγοριανό ημερολόγιο) προσεγγίζει τον άρρητο αριθμό ν με τον αριθμό 365,2425. Eπομένως το Γρηγοριανό ημερολόγιο κάνει κάθε χρόνο ένα σφάλμα περίπου 0,0003 ημερών, δηλαδή περίπου 26 δευτερολέπτων.

Ασύμμετρη μαγεία.com

Επειδή έχω διαβάσει αρκετά σχετικά με τα ημερολόγια, επιτρέψτε μου να απαντήσω

Όπως πολύ σωστά γράφει ο Babylon Lottery:
Η πραγματική διάρκεια του έτους είναι περίπου 365,2422 ημέρες
Η διάρκεια του έτους στο Γρηγοριανό ημερολόγιο είναι ακριβώς 365,2425 ημέρες

Το Ιουλιανό είχε 365,25 ημέρες και αυτό γιατί θεωρεί δίσεκτα έτη αυτά που διαιρούνται με το 4

Στο Γρηγοριανό ένα έτος είναι δίσεκτο αν διαιρείται με το 4, εκτός και αν είναι αιώνιο (1600,1700,1800,1900,...). Σ' εκείνη την περίπτωση δίσεκτο είναι μόνο αυτό που διαιρείται με το 400

Έχουμε και λέμε λοιπόν:

Στο διάστημα από 1600 ως 1999 το Ιουλιανό είχε 100 δίσεκτα έτη
Στο ίδιο διάστημα, το Γρηγοριανό έχει όλα τα δίσεκτα του Ιουλιανού, εκτός από τα 1700,1800,1900. Επομένως έχει 97 δίσεκτα

100/400 = 0,25 γι αυτό και το Ιουλιανό έχει μέση διάρκεια 365,25

97/400 = 0,2425 γι αυτό και το Γρηγοριανό έχει μέση διάρκεια 365,2425

Στο θέμα μας τώρα: 0,999... = 1

Είναι γνωστό το παράδοξο του Ζήνωνα που λέει ότι αν θέλεις να διανύσεις μία απόσταση δε φτάσεις ποτέ.

Ας πούμε λοιπόν ότι θέλει κάποιος να διανύσει ένα χιλιόμετρο.
Ας υποθέσουμε ότι κινείται με σταθερή ταχύτητα 6km/h, δηλαδή σε 10' θα καλύψει το 1km

Ξεκινάει λοιπόν
Μετά από 9 λεπτά έχει καλύψει 0.9km
μετά από 0.9 λεπτά έχει καλύψει άλλα 0.09km, βρίσκεται δηλαδή στα 0.99km
μετά από 0.09 λεπτά έχει καλύψει άλλα 0.009km, βρίσκεται δηλαδή στα 0.999km
μετά από 0.009 λεπτά έχει καλύψει άλλα 0.0009km, βρίσκεται δηλαδή στα 0.9999km

Όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε, σχηματίζεται μία ακολουθία αριθμών της μορφής 0.9999...

Επειδή κάθε όρος της ακολουθίας είναι γνήσια μικρότερος του 1, συμπεραίνουμε ότι το 0.9999... δε θα γίνει ποτέ ίσο με 1.
Μ' άλλα λόγια ο δρομέας δε θα φτάσει ποτέ στον προορισμό του

Επειδή κάθε όρος της ακολουθίας είναι γνήσια μικρότερος του 1, συμπεραίνουμε ότι το 0.9999... δε θα γίνει ποτέ ίσο με 1.
Μ' άλλα λόγια ο δρομέας δε θα φτάσει ποτέ στον προορισμό του

Click για ανάπτυξη...

Θα φτάσει όταν -ασυναίσθητα- θεωρήσει το όριο όταν ν->οο.


Υγ. ...Έστρεψε κανείς το βέλος πάνω στον Ζήνωνα όταν εκείνος διατύπωσε το παράδοξο?

Γιώργος
Και σύμφωνα με το βιβλίο Άλγεβρας Β' Λυκείου μπορεί να θεωρηθεί άθροισμα απείρων όρων γεωμετρικής προόδου το 1/2 + 1/4 + 1/8 + .... = 1.
Το αν αυτή η λύση με κάποια άλλα αξιώματα θα ήταν σωστή ή όχι έχει συζητηθεί στο αντίστοιχο θέμα, οπότε οτιδήποτε περιττό θα φεύγει εκτός θέματος.

Click για ανάπτυξη...

Το "μπορεί να θεωρηθεί" σημαίνει ότι "μπορεί και να μη θεωρηθεί".
Δεν καλύπτεται αξιωματικά με το "μπορεί" το 1/2 + 1/4 + 1/8 + .... = 1.
Αν το δεχθούμε σαν ορθό έρχεται το παράδοξο που εισάγει ο Ζήνων και μας υπενθυμίζει διαρκώς ότι κάνουμε λάθος και το "μπορεί" δημιουργεί παράδοξο, που δεν δημιουργεί το "δεν μπορεί".
Είναι θέμα άποψης, αλλά η μαθηματική άποψη είναι επί τους ασφαλούς αυτή που στηρίζεται σε αξίωμα και όχι σε "μπορεί να θεωρηθεί". Ο καθένας έχει τις απόψεις του και αυτή είναι η δική μου άποψη. Όταν λείπει το αξίωμα στήριξης, η όποια άποψη μπορεί να αφορά όλους επί όλων, αλλά όχι τα μαθηματικά και αυτό ΔΕΝ είναι δική μου άποψη, αλλά των ίδιων των μαθηματικών.
Χρόνια πολλά.

Το Παράδοξο της Διχοτομίας
Το συγκεκριμένο Παράδοξο καταλήγει στο συμπέρασμα ότι “ η κίνηση είναι αδύνατη “διότι ο,τι κινείται, πριν φτάσει στο τέρμα του πρέπει να φτάσει στη μέση της πορείας του.
Ο Ζήνωνας λέει ότι για να μεταβεί ένα σώμα από μια θέση Α σε μια θέση Β οφείλει να διανύσει το μισό της απόστασης ΑΒ. Στη συνέχεια το μισό του υπολοίπου, ακολούθως το μισό του νέου υπολοίπου και ούτω καθʼεξής.Οι αποστάσεις αυτές γίνονται συνεχώς μικρότερες, αλλά απαιτείται για κάθε μια απʼαυτές ένας ορισμένος χρόνος για να διανυθεί. Και έτσι συμπέρανε ότι “το άθροισμα ενός απείρου αριθμού ορισμένων χρονικών διαστημάτων οφείλει να είναι άπειρο”.Κατά συνέπεια η πραγματικότητα της κίνησης και ακριβέστερα της έκτασης είναι αδύνατη.
Γιʼαυτή την αντινομία έχουν προταθεί αρκετές λύσεις. Μια από αυτές θεωρεί ότι το λάθος του συλλογισμού έγκειται στην αληθοφανή πρόταση “το άθροισμα ενός απείρου αριθμού ορισμένων χρονικών διαστημάτων είναι άπειρο”. Αυτή η πρόταση ισχύει αλλά όχι πάντα.
Ας υποθέσουμε για παράδειγμα ότι (ΑΒ) = 2 Κm και η ταχύτητα του κινητού είναι u = 1 Km/min. Τότε το μισό της απόστασης έστω (ΑΜ1) θα διανυθεί σε χρόνο t1 = 1 min ,το μισό του υπολοίπου απόστασης το (Μ1Μ2) σε χρόνο t2 = 1/2 ,το μισό του υπολοίπου, δηλ. το (Μ2Μ3) σε χρόνο t3 = 1/4 min, κ.τ.λ. Έτσι ο χρόνος t που απαιτείται για να διανυθεί η απόσταση (ΑΒ) δίνεται από τη σειρά t=t1+t2+.....+tn+... , δηλαδή t = 1+1/2 +1/4 +...+1/2ν+...
Το άθροισμα, όμως , δεν είναι άπειρο. Ισχύει ότι t® 2,αλλά ποτέ δεν το υπερβαίνει. Κατά συνέπεια ο χρόνος είναι t = 2 min και όχι άπειρος. Έτσι, απο+ρρίπτεται το συμπέρασμα του Ζήνωνα ότι η κίνηση είναι αδύνατη.

Το παράδοξο καταργείται με μία απλή πρόταση του μέγιστου όλων των μαθηματικών, όλων των εποχών, Ευκλείδη και δεν υπάρχει ανάγκη επίκλησης της έννοιας του χρόνου που δεν μπορεί να ξεφύγει από το εκάστοτε τώρα αναφοράς και να δηλωθεί σαν φυσικό μέγεθος. Πέντε ώρες το "πήγαινε", πέντε ώρες το "έλα" μας κάνουνε "τώρα". Δεν αποθηκεύεται ο χρόνος και δεν μπορεί να παρασταθεί σαν ανυσματικό μέγεθος, παρά το ότι έτσι διατυπώνεται. Γι αυτό και ο χρόνος δεν συμμετέχει στις μαθηματικές πράξεις, παρά το γεγονός ότι είναι σύνηθες δι αυτών να "εκτιμάται".
Λέει ο Ευκλείδης στους Όρους του:

Κάθε αριθμός, εκτός της μονάδας, είναι συγκείμενον πλήθος μονάδων". Αξίωμα.

Εάν εμείς δείξουμε αριθμό που δεν είναι συγκείμενον πλήθος π.χ. 1000 μέτρα, σαν 1 χιλιόμετρο, αντιφάσκουμε στον Ευκλείδη και βρίσκει χώρο να γίνει εμβόλιμο το παράδοξο που διατύπωσε ο Ζήνων.
Τα 1000 μέτρα σαν συγκείμενο πλήθος μπορεί να τα διανύσει ο δρομέας χωρίς κανένα παράδοξο εξεταζόμενο και σαν στοιχείο μήκους και σαν χρονικό δεδομένο όπως μπορεί και το 1 μέτρο. Το ακέραιο 1 χιλιόμετρο δεν μπορεί παρά μόνο σαν ακέραιο χιλιόμετρο (όπως ακέραιο είναι και το 1 μέτρο) διότι δεν υπάρχει ακέραιος αριθμός (όπως το 1000, το 37, το 7154 κ.τ.λ.) που να αποτελείται από μέρη είτε μισά, είτε είναι ίσα μεταξύ τους, είτε ανίσα μεταξύ τους. Δεν αθροίζονται ούτε οι μη αρνητικοί αριθμοί σε ακέραιο αριθμό που να τους περιέχει, ούτε τα μήκη σε ακέραιο μήκος που να τα περιέχει (όπως το 1000 σαν 1 χιλιόμετρο) διότι ο ορισμός άθροισης ευθύγραμμων τμημάτων δεν υπάρχει αλλά μεταγγίζεται εκ του τρόπου άθροισης των μη αρνητικών αριθμών, οι οποίοι δεν αθροίζονται σε έναν που να τους περιέχει αξιωματικά του Ευκλείδη.
Δεν είναι ορθό να θελήσουμε να ερμηνεύσουμε το παράδοξο αυτό με τη φυσική, διότι το πρώτο πράγμα που λένε οι μαθηματικοί είναι ότι τα μαθηματικά λειτουργούν αφαιρετικά τη φύσης και δεν υπάρχει επομένως αιτιολογία πρσφυγής στην φύση για ένα καθαρά μαθηματικό πρόβλημα που το λύνει ο Ευκλείδης τόσο απλά και απλά δεν το έχουμε προσέξει με τη χρήση του προφανούς στη θέση της απόδειξης. Λίγη προσοχή χρειάζεται και ο Ζήνων δεν έχει θέση στα μαθηματικά σε ότι αφορά τουλάχιστον το παράδοξό του το οποίο εξαφανίζεται με τον απλό τρόπο που υπέδειξα.
Δεν είναι παράδοξο, να εξετάζουμε το παράδοξο αυτό με τη φυσική και να δεχόμαστε στα μαθηματικά την εκ της φυσικής απόδειξη, ενώ ταυτόχρονα να εγείρονται αντιρήσεις στην δική μου υπόδειξη ότι το πυθαγόρειο δεν ισχύει στη φύση με την επίκληση του αφαιρετικά της φύσης; Προς τι δύο μέτρα και δύο σταθμά εντός του ίδιου αξιωματικού συστήματος, δηλαδή του Ευκλείδειου;
Χρόνια πολλά.

Δεν με λένε Λαμπρούκο, αλλά Λάμπρο.
Εξαιρετική η απαντησή σου (θεμελιωμένη) σε σχέση με το παράδοξο.
Έχω αρχίσει να σε θαυμάζω.
Αν πας έτσι θα χαίρονται κι εσένα τα φόρουμς να μη ζηλεύεις.

Επειδή κάθε όρος της ακολουθίας είναι γνήσια μικρότερος του 1..

Click για ανάπτυξη...

Προφανώς εννοείς την ακολουθία:
S_n=9*Σ(10^-i) {i=1 εως n} n>=1
Όμως δεν υπάρχει φυσικός m ώστε S_m=0,999...
Οπότε πάρτο αλλιώς.

Είμαι περίεργος Μινκόφσκι, τι θα σου απαντήσει αυτός που είπε "Επειδή κάθε όρος της ακολουθίας είναι γνήσια μικρότερος του 1..". Αλήθεια ποιος έκανε αυτή τη διατύπωση για να μην ψάχνω να του δώσω συγχρητήρια;

Αρχική Δημοσίευση από Exposed_Bone:

Ο ένας συμμετέχοντας υποστήριζε αφού το 0,99... μπορεί να γραφεί και ως 0,33... + 0,33... +0,33 ... αρά ως

αρά

αρά ως 1

Click για ανάπτυξη...

Η πρώτη άποψη νομίζω είναι αρκετά λάθος, αφού το 0,33... ειναι το 1/3 του 0,99... και οχι του 1, άρα επρεπε θα να γραφεται (0.99..*1/3 ) + (0.99..*1/3) + (0.99..*1/3) = 0.33.. + 0.33 ... + 0.33... = 0.99..

Μπορεί να λέω και βλακείες, αλλά εμένα αυτό μου βγαίνει με τα λίγα που ξέρω, δεν έχω μελετήσει τοσο μαθηματικά...