Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

Αρχική Δημοσίευση από aggelosst9:

Αυτό θα μπορούσες να το εξηγήσεις λίγο;

Click για ανάπτυξη...

Οταν εχουμε μια δευτεροβαθμια και ζητειται το προσημο ενας γενικος κανονας ειναι ο εξης :

Εαν Δ >0 τοτε εχουμε 2 πραγματικες ριζες.Φτιαχνουμε ενα πινακακι και το χωριζουμε σε 3 στηλες με 2 καθετες γραμμες.
Στην πρωτη απ'τα αριστερα βαζουμε απο πανω την τιμη της μικροτερης ριζας και στην αλλη καθετη γραμμη την τιμη της μεγαλυτερης ριζας.
Μενει να αποφασισουμε τα προσημα που επικρατουν στις τιμες που περικλειουν οι ριζες.
Το μεσαιο "νταμακι" εχει παντα αντιθετο προσημο απο τον α ορο του πολυωνυμου.Ενω τα ακριανα εχουν ιδιο προσημο.
Παραδειγμα :

x²+3x-4 = 0.
Ειναι α = 1,β=+3,γ= -4
Ειναι Δ = β²-4αγ = 3²-4*1*(-4) = 9+16 = 25.
Αρα x1,2 = (-β+-sqrt(Δ))/2α = (-3+-sqrt(25))/2*1 = (-3 +- 5)/2 =
χ1 = (-3+5)/2 =1
χ2 = (-3-5)/2 = -8/2=-4

Αρα ο πινακας δημιουργειται ως εξης :

_______________________________________
___x__|-oo_____x1=-4_____x2=1_______+oo|
x²+3x-4|_____+____|____-___|_____+_____|

Εδω ηταν α= +1 > 0 αρα αναμεσα στις ριζες - και εξω απο αυτες +.
Εαν ηταν α =-1 τοτε θα επρεπε να αντιστρεψω τα προσημα στον πινακα και να βαλω + οπου ηταν το - και - οπου ηταν το +.
Φαντασου οτι γυρναει η παραβολη τουμπα(Η γραφικη παρασταση μιας δευτεροβαθμιας συναρτησης).Αρα λογικο δεν ειναι η "κοιλια της" που ηταν κατω απο τον αξονα αρχικα αφου πολλαπλασιαζω με - να πεταχτει απο την αλλη πλευρα του αξονα;
Αρα λοιπον εφοσον το κομματακι αναμεσα στις ριζες ειναι θετικο,τοτε το α θα πρεπει να ειναι αρνητικο.

Εαν ειναι Δ = 0 τοτε εχουμε μια διπλη ριζα ρ1=ρ2=ρ.και εκατερωθεν αυτης το προσημο του πολυωνυμου ειναι το ιδιο με το προσημο του α ορου.

Εαν ειναι Δ<0 τοτε δεν υπαρχει λυση στους πραγματικους και το προσημο του πολυωνυμου ειναι ιδιο με το προσημο του α ορου.

Συμφωνα με τα παραπανω λοιπον,για να ειναι θετικο ενα δευτεροβαθμιο πολυωνυμο αναμεσα στις 2 πραγματικες του ριζες πρεπει να εχει α<0.

Οκ, νομίζω κατάλαβα τί παίζει, ευχαριστώ πολύ για το χρόνο σου!

Αρχική Δημοσίευση από DumeNuke:

Έχεις τον δειγματικό χώρο Ω. Από αυτόν, πετάς το Β, αφού ζητάς το Β'. Στη συνέχεια, πετάς και το Α, αφού το αφαιρείς.
Από το Ω, λοιπόν, πετάς την Ένωση(Α,Β). Άρα:
P(B'-A)=P[(AένωσηΒ)']=1-P(AένωσηΒ)

Click για ανάπτυξη...

να συμπληρωσω επισης οτι αυτο ειναι Α'τομηΒ'=(ΑUB)' απο κανονες de morgan

Καλησπέρα,
Μήπως θα μπορούσε κάποιος να με βοηθήσει στην παρακάτω άσκηση;
"Δίνεται το πολυώνυμο p(x)=3x³+αx²-13x+β. Το p(x) έχει παραγοντα το x+1 ενώ η διαιρεση του με το x-2 αφήνει υπόλοιπο -24. Να βρείτε τις τιμές των α και β."
Ίσως είναι λίγο γελοία, αλλά δεν ξέρω πως να αξιοποιήσω το δεδομένο ότι διαιρούμενο με το x-2 αφήνει εκεινο το υπόλοιπο. Δεν θέλω απαραίτητα όλη την επίλυση της, απλά να μου λύσετε αν μπορείτε την απορία που προανέφερα.

το οτι εχει παραγοντα το χ+1 σημαινει οτι p(-1)=0 δηλαδη α+β=-10 και με το χ-2 αφηνει υπολοιπο -24 κανε ενα σχημα horner θα ταυτισεις το υπολοιπο που θα βγαλεις με το -24 αλλη μια σχεση.λυσε το συστημα και βρηκες τα α,β

Αρχική Δημοσίευση από flying:

Καλησπέρα,
Μήπως θα μπορούσε κάποιος να με βοηθήσει στην παρακάτω άσκηση;
"Δίνεται το πολυώνυμο p(x)=3x³+αx²-13x+β. Το p(x) έχει παραγοντα το x+1 ενώ η διαιρεση του με το x-2 αφήνει υπόλοιπο -24. Να βρείτε τις τιμές των α και β."
Ίσως είναι λίγο γελοία, αλλά δεν ξέρω πως να αξιοποιήσω το δεδομένο ότι διαιρούμενο με το x-2 αφήνει εκεινο το υπόλοιπο. Δεν θέλω απαραίτητα όλη την επίλυση της, απλά να μου λύσετε αν μπορείτε την απορία που προανέφερα.

Click για ανάπτυξη...

Για σκέψου λίγο. Έχεις 2 άγνωστες παραμέτρους. Απο το οτι το χ+1 είναι παράγοντας καταλαβαίνεις οτι το χ=-1 είναι ρίζα, και αμέσως αμέσως έχεις ήδη μια πρώτη εξίσωση που περιέχει τα α και β. Έπειτα σου λέει υπόλοιπο -24. Για να σκεφτούμε όμως το εξής:

Εαν p(x) ο διαιρετέος , δ(χ) ο διαιρέτης, π(χ) το πηλίκο και u(x) το υπόλοιπο,τότε : p(x) = π(χ)δ(χ) + u(x) .
Ακριβώς όπως εαν πεις 9/5 = 1*5 + 4 . Όπου 9 ο διαιρετέος, 5 ο διαιρέτης,1 το πηλίκο και 4 το υπόλοιπο.

Παρατήρησε οτι το υπόλοιπο δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του διαιρέτη. Διότι εαν συμβαίνει αυτό, τότε το πηλίκο δεν θα ήταν 1. Εάν το υπόλοιπο για παράδειγμα ήταν ίσο με το 5,όσο και ο διαιρέτες δηλαδή, το πηλικο θα ήταν 2(αφού θα είχαμε 1*5+5 = 2*5 ). Με μια παρόμοια λογική και εδώ λοιπόν στα πολυώνυμα, το u(x) πρέπει να έχει βαθμό μικρότερο απο τον διαιρέτη δ(χ) . Μα ο διαιρέτης δ(χ) είναι πολυώνυμο 1ου βαθμού. Άρα το u(x) θα είναι πολυώνυμο μηδενικού βαθμού(αφού αρνητικό δεν μπορεί να είναι και μεγαλύτερο η ίσο από ένα δεν γίνεται). Δηλαδή θα είναι μια σταθερά,ας πούμε c.

Εν τέλει,εαν κάνεις την διαίρεση του πολυωνύμου θα καταλήξεις με μια έκφραση που θα περιέχει μόνο νούμερα και τις σταθερές α και β ή μόνο κάποια απο αυτές. Αυτή η έκφραση σου λέει η εκφώνηση οτι θα ισούται με -24 ή αλλιώς c = -24 . Άρα στην ουσία σου λέει πως να βρεις και την δεύτερη εξίσωση που χρειάζεσαι, ώστε να φτιάξεις το σύστημα σου και απο αυτό να βρεις τις τιμές των α και β. Ξεκίνα λοιπόν να κάνεις την διαίρεση του p(x) με το x-2 .

Αρχική Δημοσίευση από Samael:

Για σκέψου λίγο. Έχεις 2 άγνωστες παραμέτρους. Απο το οτι το χ+1 είναι παράγοντας καταλαβαίνεις οτι το χ=-1 είναι ρίζα, και αμέσως αμέσως έχεις ήδη μια πρώτη εξίσωση που περιέχει τα α και β. Έπειτα σου λέει υπόλοιπο -24. Για να σκεφτούμε όμως το εξής:

Εαν p(x) ο διαιρετέος , δ(χ) ο διαιρέτης, π(χ) το πηλίκο και u(x) το υπόλοιπο,τότε : p(x) = π(χ)δ(χ) + u(x) .
Ακριβώς όπως εαν πεις 9/5 = 1*5 + 4 . Όπου 9 ο διαιρετέος, 5 ο διαιρέτης,1 το πηλίκο και 4 το υπόλοιπο.

Παρατήρησε οτι το υπόλοιπο δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του διαιρέτη. Διότι εαν συμβαίνει αυτό, τότε το πηλίκο δεν θα ήταν 1 αλλά 2(αφού θα είχαμε 1*5+5 = 2*5 , άρα το πηλίκο θα ήταν 2). Με μια παρόμοια λογική και εδώ λοιπόν, το u(x) πρέπει να έχει βαθμό μικρότερο απο τον διαιρέτη δ(χ) . Μα ο διαιρέτης δ(χ) είναι πολυώνυμο 1ου βαθμού. Άρα το u(x) θα είναι πολυώνυμο μηδενικού βαθμού. Δηλαδή θα είναι μια σταθερά,ας πούμε c.

Εν τέλει,εαν κάνεις την διαίρεση του πολυωνύμου θα καταλήξεις με μια έκφραση που θα περιέχει μόνο νούμερα και τις σταθερές α και β ή μόνο κάποια απο αυτές. Αυτή η έκφραση σου λέει η εκφώνηση οτι θα ισούται με -24 ή αλλιώς c = -24 . Άρα στην ουσία σου λέει πως να βρεις και την δεύτερη εξίσωση που χρειάζεσαι, ώστε να φτιάξεις το σύστημα σου και απο αυτό να βρεις τις τιμές των α και β. Ξεκίνα λοιπόν να κάνεις την διαίρεση του p(x) με το x-2 .

Click για ανάπτυξη...

πιο αναλυτικη εξηγηση δεν μπορουσες να δωσεις

Αρχική Δημοσίευση από eukleidhs1821:

πιο αναλυτικη εξηγηση δεν μπορουσες να δωσεις

Click για ανάπτυξη...

Μου αρέσει πολύ η σαφήνεια. Αρκετές φορές σε εξαντλητικό βαθμό. Αλλα δεν βαριέσαι,αρκεί να καταλάβει ο άλλος .

Αρχική Δημοσίευση από eukleidhs1821:

το οτι εχει παραγοντα το χ+1 σημαινει οτι p(-1)=0 δηλαδη α+β=-10 και με το χ-2 αφηνει υπολοιπο -24 κανε ενα σχημα horner θα ταυτισεις το υπολοιπο που θα βγαλεις με το -24 αλλη μια σχεση.λυσε το συστημα και βρηκες τα α,β

Click για ανάπτυξη...

Αρχική Δημοσίευση από Samael:

Για σκέψου λίγο. Έχεις 2 άγνωστες παραμέτρους. Απο το οτι το χ+1 είναι παράγοντας καταλαβαίνεις οτι το χ=-1 είναι ρίζα, και αμέσως αμέσως έχεις ήδη μια πρώτη εξίσωση που περιέχει τα α και β. Έπειτα σου λέει υπόλοιπο -24. Για να σκεφτούμε όμως το εξής:

Εαν p(x) ο διαιρετέος , δ(χ) ο διαιρέτης, π(χ) το πηλίκο και u(x) το υπόλοιπο,τότε : p(x) = π(χ)δ(χ) + u(x) .
Ακριβώς όπως εαν πεις 9/5 = 1*5 + 4 . Όπου 9 ο διαιρετέος, 5 ο διαιρέτης,1 το πηλίκο και 4 το υπόλοιπο.

Παρατήρησε οτι το υπόλοιπο δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του διαιρέτη. Διότι εαν συμβαίνει αυτό, τότε το πηλίκο δεν θα ήταν 1. Εάν το υπόλοιπο για παράδειγμα ήταν ίσο με το 5,όσο και ο διαιρέτες δηλαδή, το πηλικο θα ήταν 2(αφού θα είχαμε 1*5+5 = 2*5 ). Με μια παρόμοια λογική και εδώ λοιπόν στα πολυώνυμα, το u(x) πρέπει να έχει βαθμό μικρότερο απο τον διαιρέτη δ(χ) . Μα ο διαιρέτης δ(χ) είναι πολυώνυμο 1ου βαθμού. Άρα το u(x) θα είναι πολυώνυμο μηδενικού βαθμού(αφού αρνητικό δεν μπορεί να είναι και μεγαλύτερο η ίσο από ένα δεν γίνεται). Δηλαδή θα είναι μια σταθερά,ας πούμε c.

Εν τέλει,εαν κάνεις την διαίρεση του πολυωνύμου θα καταλήξεις με μια έκφραση που θα περιέχει μόνο νούμερα και τις σταθερές α και β ή μόνο κάποια απο αυτές. Αυτή η έκφραση σου λέει η εκφώνηση οτι θα ισούται με -24 ή αλλιώς c = -24 . Άρα στην ουσία σου λέει πως να βρεις και την δεύτερη εξίσωση που χρειάζεσαι, ώστε να φτιάξεις το σύστημα σου και απο αυτό να βρεις τις τιμές των α και β. Ξεκίνα λοιπόν να κάνεις την διαίρεση του p(x) με το x-2

Click για ανάπτυξη...

τελικά ήταν πολύ πιο εύκολο από ότι περίμενα σας ευχαριστώ πολύ!

Αρχική Δημοσίευση από flying:

Καλησπέρα,
Μήπως θα μπορούσε κάποιος να με βοηθήσει στην παρακάτω άσκηση;
"Δίνεται το πολυώνυμο p(x)=3x³+αx²-13x+β. Το p(x) έχει παραγοντα το x+1 ενώ η διαιρεση του με το x-2 αφήνει υπόλοιπο -24. Να βρείτε τις τιμές των α και β."
Ίσως είναι λίγο γελοία, αλλά δεν ξέρω πως να αξιοποιήσω το δεδομένο ότι διαιρούμενο με το x-2 αφήνει εκεινο το υπόλοιπο. Δεν θέλω απαραίτητα όλη την επίλυση της, απλά να μου λύσετε αν μπορείτε την απορία που προανέφερα.

Click για ανάπτυξη...

έχω την εντύπωση ότι μας τρέχουν Πολυώνυμα έχουμε τελειώσει εδώ και 1,5 μήνα, με αποτέλεσμα να μένει μονάχα ένα κεφάλαιο για την ολοκλήρωση της ύλης!

Αρχική Δημοσίευση από flying:

τελικά ήταν πολύ πιο εύκολο από ότι περίμενα σας ευχαριστώ πολύ!

Click για ανάπτυξη...

Πάντα είναι πιο εύκολο απο όσο περιμένουμε .
Να είσαι πολύ προσεκτική με τους ορισμούς (αυτό έχει να κάνει με το διάβασμα σου) και να λύνεις πολλές ασκήσεις(αυτό έχει να κάνει με την εξάσκηση των συλλογισμών σου). Καλό διάβασμα λοιπόν .

Αρχική Δημοσίευση από SlimShady:

έχω την εντύπωση ότι μας τρέχουν Πολυώνυμα έχουμε τελειώσει εδώ και 1,5 μήνα, με αποτέλεσμα να μένει μονάχα ένα κεφάλαιο για την ολοκλήρωση της ύλης!

Click για ανάπτυξη...

εμας μας εχει αρχισει επαναληψη απο την αρχη(μιλώντας για σχολειο ετσι) χααχαχ λιγο σπαστικος που δεν μας προχωρησε υλη γ αλλα δεν φταιει αυτος ο καημενος, τα 2/28 παιδια της υγειας που γκρινιαξαν..

Αρχική Δημοσίευση από Σωτηρία:

εμας μας εχει αρχισει επαναληψη απο την αρχη(μιλώντας για σχολειο ετσι) χααχαχ λιγο σπαστικος που δεν μας προχωρησε υλη γ αλλα δεν φταιει αυτος ο καημενος, τα 2/28 παιδια της υγειας που γκρινιαξαν..

Click για ανάπτυξη...

Αυτά δεν είναι άλγεβρα γενικής;

Αρχική Δημοσίευση από SlimShady:

Αυτά δεν είναι άλγεβρα γενικής;

Click για ανάπτυξη...

Ειναι αλλα στη ταξη δεν εχουμε κανενα παιδι θεωρητικης κατευθυνσης, οποτε 26/28 παιδια δινουμε του χρονου μαθηματικα. Γενικά ξερω κι αλλα παιδια β λυκειου που εχουν ξεκινήσει στο σχολειο την ύλη της γ απο τωρα αλλα νταξει no worries που δεν μας προχωραει κι εμας..

Γενικης ή κατευθυνσης δεν εχει σημασια, αν δεν ξερεις την λογικη της παραπανω ασκησης δεν λυνεις μια βασικη ομαδα ολοκληρωματων, που νομιζω ειναι στην κατεύθυνση Γ'. Οποτε καλως επιμενει ο δασκαλος , να του πατε σοκολατακια.

Αρχική Δημοσίευση από γιαννης_00:

Γενικης ή κατευθυνσης δεν εχει σημασια, αν δεν ξερεις την λογικη της παραπανω ασκησης δεν λυνεις μια βασικη ομαδα ολοκληρωματων, που νομιζω ειναι στην κατεύθυνση Γ'. Οποτε καλως επιμενει ο δασκαλος , να του πατε σοκολατακια.

Click για ανάπτυξη...

εννοείται πως τα ξερουμε αυτα για να λεω πως εχουμε τελειωσει την υλη. Γενικα ειναι πολυ καλος καθηγητης στο σχολειο η αληθεια ειναι, τα κανει αναλυτικα και μας προχωρσει και ενα βημα παραπανω -δεν μενει στα βασικα, αλλα φεύγει του χρονου. Οποτε αν ξεκινουσαμε μαζι του θα μας ελεγε σιγουρα σημαντικα πραγματακια, ετσι το εχω στο μυαλό μου τουλαχιστον. Τωρα δεν σας μιλαω με καμια εμπειρια πανελληνιων αλλα οι εννοιες της γ λυκειου ειναι πολυ αγνωστες για μας οποτε οσο μεγαλύτερη εξασκηση τοσο πιο καλα! υποθετω παντα.. χωρις καμια γνωση στο αντικειμενο των πανελληνίων..

Αρχική Δημοσίευση από Σωτηρία:

εννοείται πως τα ξερουμε αυτα για να λεω πως εχουμε τελειωσει την υλη. Γενικα ειναι πολυ καλος καθηγητης στο σχολειο η αληθεια ειναι, τα κανει αναλυτικα και μας προχωρσει και ενα βημα παραπανω -δεν μενει στα βασικα, αλλα φεύγει του χρονου. Οποτε αν ξεκινουσαμε μαζι του θα μας ελεγε σιγουρα σημαντικα πραγματακια, ετσι το εχω στο μυαλό μου τουλαχιστον. Τωρα δεν σας μιλαω με καμια εμπειρια πανελληνιων αλλα οι εννοιες της γ λυκειου ειναι πολυ αγνωστες για μας οποτε οσο μεγαλύτερη εξασκηση τοσο πιο καλα! υποθετω παντα.. χωρις καμια γνωση στο αντικειμενο των πανελληνίων..

Click για ανάπτυξη...

Η άσκηση που παρέθεσες πάντως είναι ιδιαιτέρως απλή απο όλες τις απόψεις, άρα δεν ξέρω πως,εάν σε προβληματίζουν ασκήσεις πολυωνύμων, έχεις αφομοιώσει δυσκολότερα κεφάλαια όπως λόγου χάριν οι λογάριθμοι.

Αρχική Δημοσίευση από Σωτηρία:

εννοείται πως τα ξερουμε αυτα για να λεω πως εχουμε τελειωσει την υλη. Γενικα ειναι πολυ καλος καθηγητης στο σχολειο η αληθεια ειναι, τα κανει αναλυτικα και μας προχωρσει και ενα βημα παραπανω -δεν μενει στα βασικα, αλλα φεύγει του χρονου. Οποτε αν ξεκινουσαμε μαζι του θα μας ελεγε σιγουρα σημαντικα πραγματακια, ετσι το εχω στο μυαλό μου τουλαχιστον. Τωρα δεν σας μιλαω με καμια εμπειρια πανελληνιων αλλα οι εννοιες της γ λυκειου ειναι πολυ αγνωστες για μας οποτε οσο μεγαλύτερη εξασκηση τοσο πιο καλα! υποθετω παντα.. χωρις καμια γνωση στο αντικειμενο των πανελληνίων..

Click για ανάπτυξη...

Ειμαι σιγουρος οτι βαζοντας την ασκηση αυτη ισως δεν ειχε εσενα στο μυαλό του που εισαι αστερι ουτως η αλλως αλλα τα αλλα παιδια.Μετα απο 5 χρονια που εχω αφησει την Β λυκειου , οταν πιανω να λυσω τετοιο ολοκληρωμα που το λενε ρητων συναρτησεων ή κλασματακια που το λεω εγω, εχω θεμα, πρεπει να κατσω να το σκεφτω , να χασω χρονο ( δεν συνιστατε στις πανελληνιες) και τελικα δεν το λυνω ως συστημα αλλα με ενα αλλο τροπο της θεσεως τιμων. Οποτε το πρακτις δεν κανει κακο.

Αρχική Δημοσίευση από SlimShady:

Η άσκηση που παρέθεσες πάντως είναι ιδιαιτέρως απλή απο όλες τις απόψεις, άρα δεν ξέρω πως,εάν σε προβληματίζουν ασκήσεις πολυωνύμων, έχεις αφομοιώσει δυσκολότερα κεφάλαια όπως λόγου χάριν οι λογάριθμοι.

Click για ανάπτυξη...

Δεν την ανεβασα εγω αν εννοεις αυτη με τα πολυωνυμα. Μια ασκηση εχω ανεβασει γενικα εδω στη πλατφόρμα για λογαριθμους γιατι ειχα κολλησει ασχημα αλλα καταλαβα κατευθυειαν τι εκανα λαθος (κυριως απροσεξια θα έλεγα οτι ηταν δυστυχώς ή ευτυχώς)

Αρχική Δημοσίευση από Σωτηρία:

Δεν την ανεβασα εγω αν εννοεις αυτη με τα πολυωνυμα. Μια ασκηση εχω ανεβασει γενικα εδω στη πλατφόρμα για λογαριθμους γιατι ειχα κολλησει ασχημα αλλα καταλαβα κατευθυειαν τι εκανα λαθος (κυριως απροσεξια θα έλεγα οτι ηταν δυστυχώς ή ευτυχώς)

Click για ανάπτυξη...

Ωχ ζητώ συγγνώμη!