Ενδιαφέροντα μαθηματικά προβλήματα προς λύση

Αρχική Δημοσίευση από paikths:

λοιπον μια πολυ καλη ασκηση ....εχουμε 0<=α<b<=c
Να δειξετε οτι [(e^b)-(e^a)]/(b-a)<[[(e^c)-1]*(b+a)/2c]+1

Click για ανάπτυξη...

ειναι λιγο δυσκολη η ασκηση δεν αντιλεγω

Εγώ κόλλησα πάντως... Δώσε καμιά βοήθεια αν θέλεις

Τι έγινε, έλειψα λίγο και το κλείσατε το μαγαζί;

Τι λίγο ρε? .Εγώ ανησύχησα. Μήπως αγάπησες? (Αν και εγώ έλλειψα περισσότερο). Ρembeske θα ασχοληθώ το Σαβατοκύριακο με την άσκηση του paihth αν και κάτι από ένστικτο δεν μου αρέσει... Δες την και συ.

Αρχική Δημοσίευση από DiavolakoS:

λοιπον μια πολυ καλη ασκηση ....εχουμε 0<=α<b<=c
Να δειξετε οτι [(e^b)-(e^a)]/(b-a)<[[(e^c)-1]*(b+a)/2c]+1

Click για ανάπτυξη...

Μιάς και το θέμα αναδύθηκε απο την άβυσσο της αιώνιας λήθης και το θυμηθήκαμε

Λοιπόν...

Υποθέτουμε ότι a=b(εκτός ορίων του προβλήματος)

έτσι καθώς (e^b - e^a)/(b-a) είναι ο μέσος όρος τιμών της e^x απο x=[a..b]
αν a = b τότε η παράσταση έχει τιμή e^b

Άρα έχουμε για σταθερό c, 2 συναρτήσεις του b:

την καμπύλη f(b) = e^b

και την ευθεία g(b) = (b/c) * (e^c-1) + 1

και οι δύο γνησίως αύξουσες

παρατηρούμε ότι
f(0) = g(0) και f(c) = g(c) είναι δύο ρίζες στην εξίσωση f(b)-g(b)=0

και αφού f(c+D) > g(c+D) D>0

διαπιστώνουμε ότι:

για 0 <= b <= c

g(b) >= f(b)

τώρα αν a < b

έχουμε G(a,b) = g(b-d/2)
όπου d = b-a

(1) όμως παρατηρούμε ότι:
(e^b - e^a)/d > e^(a+d/2)

και συγκεκριμένα η απόσταση μεταξύ του μέσου όρου των a,b
και του της τιμής στον άξονα των x του μέσου όρου (e^b - e^a)/d είναι σταθερή για συγκεκριμένο d
και ισούται με ln((e^d-1)/d) - d/2

άρα θεωρώντας ότι το σημείο x = (a+b)/2
προκειμένου να ισχύει G(a,b) > F(a,b)

πρέπει:

ln(x*(e^c-1)/c+1) >= ln((e^x-1)/x) + x/2

ας εξετάσουμε αυτή την ανίσωση:


EDITλάθος για x < 1,μέχρι στιγμής,αναμένεται διόρθωση)
η τιμή του ln(x*(e^c-1)/c+1) είναι τουλάχιστον c/2+D1+lnx>=0 όπου D1 μια σταθερά
η τιμή του ln((e^x-1)/x) + x/2 είναι τουλάχιστον x/2+x/2+D2=x+D2 όπου D2 μια σταθερά

καθώς το (e^x-1)/x είναι ο μέσος όρος τιμών της f(x) = e^x ο μέσος όρος θα απέχει όλο και
περισσότερο απο τον όρο e^(x/2) για κάθε χ' > x διότι η παράγωγος της e^x είναι γνησίως
αύξουσα(εδώ θέλει τυπική απόδειξη ),οπότε D1 > D2

άρα για 0<x<= c/2 η ανίσωση ισχύει

τώρα για x > c/2 το d έχει την αντίστροφη πορεία(c-x) καθώς αν το x είναι το (a+b)/2
αυτό προφανώς δεν μπορεί να έχει τιμή μεγαλύτερη του c/2 οπότε ισχύει και
για x > c/2.

Άντε βάλτε κάνα νέο πρόβλημα έτσι να γουστάρουμε.

έτσι καθώς (e^b - e^a)/(b-a) είναι ο μέσος όρος τιμών της e^x απο [0..x]
αν a = b τότε η παράσταση έχει τιμή e^b

Click για ανάπτυξη...

Ρε μέντορα, τι κάνεις στις αποδείξεις σου και δεν μπορεί να τις ακολουθήσει άνθρωπος;;; Πρόγραμμα ρε μαν, πρόγραμμα!!!

*Τώρα για το α=β. δεν γίνεται η παράσταση 0/0?

Αρχική Δημοσίευση από Rempeskes:

Άντε βάλτε κάνα νέο πρόβλημα έτσι να γουστάρουμε.




Ρε μέντορα, τι κάνεις στις αποδείξεις σου και δεν μπορεί να τις ακολουθήσει άνθρωπος;;; Πρόγραμμα ρε μαν, πρόγραμμα!!!

*Τώρα για το α=β. δεν γίνεται η παράσταση 0/0?

Click για ανάπτυξη...

Συγνώμη αυτό ήταν:

έτσι καθώς (e^b - e^a)/(b-a) είναι ο μέσος όρος τιμών της e^x απο [a..b]
αν a = b τότε η παράσταση έχει τιμή e^b

και για του λόγου το αληθές το όριο,καθώς 0/0 παίρνουμε Hospital

lim(a->b)(e^b-e^a)/(b-a) = D(e^b-e^a)/da / D(b-a)/da
= lim(a->b)-e^a/-1 = e^b

μου μένω ο χώρος απο (0..1] για απόδειξη στο επάνω post μου

πω πω παιδιά μπράβο σας, εγώ από μαθηματικά....0.

Χμ... To όριο (β)λιμ_(α->β) που θεωρείς είναι το αριστερό όριο μόνο, δεν ξέρω αν κάνει για μέση τιμή.

Γιατί ρε άνθρωπα δεν δίνεις μια απόδειξη με το παραδοσιακό τρόπο; Τι σου έχει κάνει ο μαθηματικός σου και τον εκδικείσαι έτσι;

Τι θα γίνει εδώ πέρα;;


Ακούει κανείς?

Ποστάρετε κάνα προβληματάκι, καμμιά σπαζοκεφαλιά, κάνα σουντόκου στη τελική.


Όπως λέει και ο Μελάς,

"Γύρνα ξανά, γύρνα ξανά,
δεν την μπορώ την ερημιά.
Μάτια θολά, χείλη στεγνά,
όλα λεν: μαθηματικά..."

Αρχική Δημοσίευση από Rempeskes:

Ποστάρετε κάνα προβληματάκι, καμμιά σπαζοκεφαλιά, κάνα σουντόκου στη τελική.

Click για ανάπτυξη...

Είναι δυνατόν να γράψουμε ένα άρτιο αριθμό, μεγαλύτερο του 2, ως το άθροισμα δύο πρώτων?

()

Αρχική Δημοσίευση από theio_vrefos:

Είναι δυνατόν να γράψουμε ένα άρτιο αριθμό, μεγαλύτερο του 2, ως το άθροισμα δύο πρώτων?

()

Click για ανάπτυξη...

Όχι, αλλά μπορούμε να τον γράψουμε ως άθροισμα δυο δεύτερων.

Πάμε όλοι μαζί: Άντε γειά φιλαράκο!!!!

Ρε Rebeske, τι έγινε ρε με την τηγανίτα? Ήθελε επιφανειακό?

Έλα μου. Όχι, τι επιφανειακό λες τώρα, απλές και σαφείς μεθόδους πάντα Ένα Μπολτζάνο και τέλος.


Πς. Τι γίνεσαι;

Δίνω τη λύση στην άσκηση με την ανισότητα που έμεινε πολύ καιρό.
Είχα τη διαίσθηση ότι δεν ήταν ορθή.
Τελικά δεν πρέπει να ακολουθούμε πάντα την διαίσθησή μας.

Ειδικά στα Μαθηματικά.

Ηταν πολύ καλή....

Rembeske. Πως κυλάει η ζωή σου? Τα μαθήματα? Στο Α.Π.Θ είσαι?

ΕΝΑ ΕΝΔΙΑΦΈΡΟΝ ΚΑΙ ΑΠΛΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ

Έχουμε 4 μεταβλητές χ1,x2,x3,x4. Γνωρίζουμε οποιαδήποτε διαφορά τους ανά δύο. (π.χ τις: χ1-χ2, χ3-χ4, κ.λ.π).

Πόσα συστήματα 3X3 μπορούμε μα συγκροτήσουμε? (Προσοχή: να περιέχουν ανεξάρτητες εξισώσεις.Δηλαδή το χ1-χ2=α1,χ2-χ3=α2, χ1-χ3=α3, δεν είναι αποδεκτό).