Τριχοτόμηση γωνιών!

coincidence · 15-04-07

Πως μπορούμε να γνωρίζουμε το πλήθος και την τιμή των γωνιών που τριχοτομούνται με ευκλείδεια μέθοδο;
Έχει κάποιος καμία άποψη;
Γεια σας…!!!

Ο κάθε άνθρωπος είναι ένα κλάσμα, με αριθμητή την πραγματική του άξια και παρονομαστή την ιδέα που έχει για τον εαυτό του.

truffinho · 15-04-07

Καλώς ήρθες στο e-steki αρχικά και δεύτερον, γίνεται αυτό που ζητάς γιατί μου φαίνεται περίεργο...

coincidence · 15-04-07

Σε ευχαριστώ πολύ για το καλωσόρισμα, και χαίρομαι παρά πολύ που είμαι σε αυτή την παρέα.
Από κάτι που ακούγεται περίεργο πηγάζουν τα θαυμαστά θέματα. Πιστεύω πως πρέπει να γίνεται αυτό που λέω. Διαφωνείς πολύ; γιατί σου ακούγεται περιεργο;
Σε ευχαριστώ πάντως που ενδιαφερθηκες! Αλλά είχα μια ιδέα και ήθελα να μου δώσετε τα Φώτα σας!

coincidence · 15-04-07

Γνωρίζουμε ότι κάποια τυχαία γωνία είναι αδύνατον να τριχοτομηθεί με κανόνα και διαβήτη. Γωνίες όμως γνωστές όπως των 90 μοιρών, η των 180, η ακόμα και των 27 μοιρων μπορούν να τριχοτομηθούν. Υπάρχει κάποιος τύπος που να μας δίνει την τιμή τέτοιων γωνιών που μπορούν να τριχοτομηθούν;

QsLv · 15-04-07

Μήπως πρέπει οι γωνίες σε μοίρες να είναι όλες της μορφής 3α όπου α ακέραιος;

Θέλω να πω, όλα τα πολλαπλάσια του 3 διαιρούνται με το 3 έτσι κ αλλιώς...

Αν κατάλαβα τι εννοάς...

Subject to change · 16-04-07

Αρχική Δημοσίευση από QsLv:
Μήπως πρέπει οι γωνίες σε μοίρες να είναι όλες της μορφής 3α όπου α ακέραιος;

Θέλω να πω, όλα τα πολλαπλάσια του 3 διαιρούνται με το 3 έτσι κ αλλιώς...

Αν κατάλαβα τι εννοάς...

Δεν εννοεί αυτό, εννοεί να τριχοτομούνται με κανόνα και διαβήτη, όχι να μπορούν να διαιρεθούν στα τρία γενικώς (όλες μπορούν έτσι!).
Ενδιαφέρον ερώτημα θέτεις coincidence. Αν υπάρχει κάποιος που ξέρει θα με ενδιέφερε κι εμένα να μάθω την απάντηση.

Γιώργος · 16 Απριλίου 2007

Με μία πρόχειρη αναζήτηση βρήκα αυτό το ενδιαφέρον λινκ.

Code:

https://users.ira.sch.gr/thafounar/Genika/problemGeometry/trisectionAngle2/trisectionAngle2.htm

Ελπίζω να απαντάει στο ερώτημά σου. Πάντως έχει μαθηματικό ενδιαφέρον.

ALEX_ · 16-04-07

Αρχική Δημοσίευση από coincidence:
Γνωρίζουμε ότι κάποια τυχαία γωνία είναι αδύνατον να τριχοτομηθεί με κανόνα και διαβήτη. Γωνίες όμως γνωστές όπως των 90 μοιρών, η των 180, η ακόμα και των 27 μοιρων μπορούν να τριχοτομηθούν. Υπάρχει κάποιος τύπος που να μας δίνει την τιμή τέτοιων γωνιών που μπορούν να τριχοτομηθούν;

Ομολογώ ότι δεν καταλαβαίνω ακριβώς τι θες να πεις.
Όπως σωστά είπες χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη είναι αδύνατον να τριχοτομήσουμε γωνία,και όσοι το κάναν "κλέψαν",δεν ακολουθήσαν τους κανόνες του προβλήματος δηλαδή.
Ανακεφαλαιώνοντας...
Με κανόνα και διαβήτη δεν μπορούμε να τριχοτομήσουμε γωνία.
Με άλλες μεθόδους,μπορούμε.

Ελπίζω να βοήθησα αν και δεν κατάλαβα καλά την απορία σου.

coincidence · 16 Απριλίου 2007

Αρχική Δημοσίευση από ALEX_:
Ομολογώ ότι δεν καταλαβαίνω ακριβώς τι θες να πεις.
Όπως σωστά είπες χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη είναι αδύνατον να τριχοτομήσουμε γωνία,και όσοι το κάναν "κλέψαν",δεν ακολουθήσαν τους κανόνες του προβλήματος δηλαδή.
Ανακεφαλαιώνοντας...
Με κανόνα και διαβήτη δεν μπορούμε να τριχοτομήσουμε γωνία.
Με άλλες μεθόδους,μπορούμε.

Ελπίζω να βοήθησα αν και δεν κατάλαβα καλά την απορία σου.

Χαίρομαι που είσαι μαθηματικός!!!
θα προσπαθήσω να σου εξηγήσω τι θέλω να πω.
Δε μπορώ να τριχοτομήσω μια τυχαία γωνία, και αυτό είναι σίγουρο! Αν όμως μου πουν ότι π.χ. η γωνία είναι 180, 90, 270, 27 τότε μπορώ να το κάνω, πάντα βέβαια με χρήση κανόνα και διαβήτη. Βέβαια η μέθοδος δε θα είναι ίδια για όλες. Πιστεύω δε διαφωνείς σε αυτό.
Αναρωτιέμαι τώρα πως μπορώ να βρω ποιες άλλες τριχοτομούνται. Δε μπορεί να είναι μόνο αυτές! Μήπως υπάρχει κάποιος τύπος που να το λέει αυτό;
Mήπως υπάρχει μέθοδος που να μου λέει ποιες γωνίες επιτρέπει να τριχοτομήσει;

Αρχική Δημοσίευση από Michelle:
Δεν εννοεί αυτό, εννοεί να τριχοτομούνται με κανόνα και διαβήτη, όχι να μπορούν να διαιρεθούν στα τρία γενικώς (όλες μπορούν έτσι!).
Ενδιαφέρον ερώτημα θέτεις coincidence. Αν υπάρχει κάποιος που ξέρει θα με ενδιέφερε κι εμένα να μάθω την απάντηση.

Νομίζω είστε η μόνη που καταλαβαίνεται τι θέλω να πω!
Δε κρίνω βέβαια τη νοημοσύνη των άλλων (και τους ευχαριστω για τη βοηθεια τους) αλλά πρέπει να έχετε πιάσει το τι θέλω να πω! Μάλλον δε τα εξηγώ καλά και να με συχωρείται!

ALEX_ · 16 Απριλίου 2007

Αρχική Δημοσίευση από coincidence:
Χαίρομαι που είσαι μαθηματικός!!!
θα προσπαθήσω να σου εξηγήσω τι θέλω να πω.
Δε μπορώ να τριχοτομήσω μια τυχαία γωνία, και αυτό είναι σίγουρο! Αν όμως μου πουν ότι π.χ. η γωνία είναι 180, 90, 270, 27 τότε μπορώ να το κάνω, πάντα βέβαια με χρήση κανόνα και διαβήτη. Βέβαια η μέθοδος δε θα είναι ίδια για όλες. Πιστεύω δε διαφωνείς σε αυτό.
Αναρωτιέμαι τώρα πως μπορώ να βρω ποιες άλλες τριχοτομούνται. Δε μπορεί να είναι μόνο αυτές! Μήπως υπάρχει κάποιος τύπος που να το λέει αυτό;
Mήπως υπάρχει μέθοδος που να μου λέει ποιες γωνίες επιτρέπει να τριχοτομήσει;

Νομίζω ότι κατάλαβα τώρα τι ρωτάς.
Με κανόνα και διαβήτη μπορούν να τριχοτομηθούν μόνο οι γωνίες θ=90,θ=180 και γενικά όλες όσες προκύπτουν αν προσθέσουμε 90 μοίρες.
Αν θες να σου εξηγήσω και το γιατί συμβαίνει αυτό,μετά χαράς.

Έντιτ:Να συμπληρώσω φυσικά ότι το πρόβλημα της τριχοτόμησης γωνίας αναφέρεται συνήθως για οξείες γωνίες μιας και αν έχουμε αμβλεία το πρόβλημα ανάγεται και πάλι στην τριχοτόμηση οξείας (που όμως όπως είπαμε....δεν γίνεται με κανόνα και διαβήτη).

coincidence · 16-04-07

Αρχική Δημοσίευση από ALEX_:
Νομίζω ότι κατάλαβα τώρα τι ρωτάς.
Με κανόνα και διαβήτη μπορούν να τριχοτομηθούν μόνο οι γωνίες θ=90,θ=180 και γενικά όλες όσες προκύπτουν αν προσθέσουμε 90 μοίρες.
Αν θες να σου εξηγήσω και το γιατί συμβαίνει αυτό,μετά χαράς.

Έντιτ:Να συμπληρώσω φυσικά ότι το πρόβλημα της τριχοτόμησης γωνίας αναφέρεται συνήθως για οξείες γωνίες μιας και αν έχουμε αμβλεία το πρόβλημα ανάγεται και πάλι στην τριχοτόμηση οξείας (που όμως όπως είπαμε....δεν γίνεται με κανόνα και διαβήτη).

Δηλαδή Alex αν σου έλεγα ότι μπορούμε να τριχοτομήσουμε οποιαδήποτε γωνία θ=540/(6κ+2), όπου κ=1,2,3,… θα σου φαινόταν παράλογο;;;
Βέβαια με συγκεκριμένη ευκλείδεια μέθοδο πάντα!

ALEX_ · 16-04-07

Αρχική Δημοσίευση από coincidence:
Δηλαδή Alex αν σου έλεγα ότι μπορούμε να τριχοτομήσουμε οποιαδήποτε γωνία θ=540/(6κ+2), όπου κ=1,2,3,… θα σου φαινόταν παράλογο;;;
Βέβαια με συγκεκριμένη ευκλείδεια μέθοδο πάντα!

Φυσικά όχι!
Με κανόνα και διαβήτη όμως,ναι,δεν γίνεται!

Είναι μάλιστα αξιοπερίεργο ότι ακόμα πολλοί ερασιτέχνες μαθηματικοί και γεωμέτρες προσπαθούν να το καταφέρουν ενώ έχει ήδη αποδειχθεί (από το χίλια οχτακόσια κάτι νομίζω) ότι δεν γίνεται!
Πρόσεξε τώρα...πάρα πολλές μέθοδοι έχουν παρουσιαστεί κατά καιρούς.Μερικές από αυτές το καταφέρνουν αλλά με απόκλιση μέχρι και 1% κάποιες.Άρα για τα μαθηματικά...δεν το καταφέρνουν.
Άλλες πάλι το καταφέρνουν αλλά (αν προσέξεις,το ανέφερα και πιο πάνω) χωρίς να χρησιμοποιούν τους κανόνες του "παιχνιδιού" σωστά.

coincidence · 17-04-07

Αρχική Δημοσίευση από ALEX_:
Φυσικά όχι!
Με κανόνα και διαβήτη όμως,ναι,δεν γίνεται!
Είναι μάλιστα αξιοπερίεργο ότι ακόμα πολλοί ερασιτέχνες μαθηματικοί και γεωμέτρες προσπαθούν να το καταφέρουν ενώ έχει ήδη αποδειχθεί (από το χίλια οχτακόσια κάτι νομίζω) ότι δεν γίνεται!
Πρόσεξε τώρα...πάρα πολλές μέθοδοι έχουν παρουσιαστεί κατά καιρούς.Μερικές από αυτές το καταφέρνουν αλλά με απόκλιση μέχρι και 1% κάποιες.Άρα για τα μαθηματικά...δεν το καταφέρνουν.
Άλλες πάλι το καταφέρνουν αλλά (αν προσέξεις,το ανέφερα και πιο πάνω) χωρίς να χρησιμοποιούν τους κανόνες του "παιχνιδιού" σωστά.

“Αν ανοιξεις αυτό:
https://users.uoa.gr/~pkrikel/Geometric Constructions.pdf

Στις σελίδες 3-4 θα βρεις μια σύγχρονη απόδειξη ότι η τριχοτόμηση τυχαίας γωνίας δεν είναι εφικτή με κανόνα και διαβήτη.

Σύμφωνα με αυτό το δεδομένο, το πρόβλημα έχει λυθεί, διότι μπορούμε να γνωρίζουμε για ποιες ακριβώς γωνίες είναι εφικτή η τριχοτόμηση με κανόνα και διαβήτη, και για ποίες δεν είναι.”

Το παραπάνω απόσπασμα είναι από κάποιο άλλο forum κάποιας σχολής μαθηματικών. Αναφέρεται λοιπόν ότι μπορούμε να γνωρίζουμε ποτέ είναι εφικτή και ποτέ όχι. Πως το καταφέρνουμε αυτό; πως μπορούμε να γνωρίζουμε ποιες γωνίες τριχοτομούνται;
Ρωτώ τώρα εσένα που είσαι μαθηματικός. Αν ανοίξεις τη σελίδα θα δεις πως δοκιμάζουν την γωνία των 20 μοιρών και αποδεικνύουν ότι δε γίνεται. Μπορεις εσυ να δοκιμάσεις τη γωνία των 27 μοιρών; και γενικά κάθε γωνία της μορφής θ=540/(6κ+2), οπου κ=1,2,3,…

ALEX_ · 17-04-07

Αρχική Δημοσίευση από coincidence:
“Αν ανοιξεις αυτό:
https://users.uoa.gr/~pkrikel/Geometric%20Constructions.pdf

Στις σελίδες 3-4 θα βρεις μια σύγχρονη απόδειξη ότι η τριχοτόμηση τυχαίας γωνίας δεν είναι εφικτή με κανόνα και διαβήτη.

Σύμφωνα με αυτό το δεδομένο, το πρόβλημα έχει λυθεί, διότι μπορούμε να γνωρίζουμε για ποιες ακριβώς γωνίες είναι εφικτή η τριχοτόμηση με κανόνα και διαβήτη, και για ποίες δεν είναι.”

Το παραπάνω απόσπασμα είναι από κάποιο άλλο forum κάποιας σχολής μαθηματικών. Αναφέρεται λοιπόν ότι μπορούμε να γνωρίζουμε ποτέ είναι εφικτή και ποτέ όχι. Πως το καταφέρνουμε αυτό; πως μπορούμε να γνωρίζουμε ποιες γωνίες τριχοτομούνται;
Ρωτώ τώρα εσένα που είσαι μαθηματικός. Αν ανοίξεις τη σελίδα θα δεις πως δοκιμάζουν την γωνία των 20 μοιρών και αποδεικνύουν ότι δε γίνεται. Μπορεις εσυ να δοκιμάσεις τη γωνία των 27 μοιρών; και γενικά κάθε γωνία της μορφής θ=540/(6κ+2), οπου κ=1,2,3,…

Κοίτα φίλε μου...
Η απόδειξη του ότι δεν γίνεται η τριχοτόμηση με κανόνα και διαβήτη βασίζεται σε ένα θεώρημα που απέδειξε ο Wantzel το 1837 και το οποίο λέει το εξής:

Aν ένας αριθμός είναι κατασκευάσιμος με κανόνα και διαβήτη τότε είναι ρίζα ενός πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές, ανάγωγου στο σύνολο των πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές που ο βαθμός του είναι δύναμη του 2.

Με τον τρόπο λοιπόν που σωστά παρουσιάζεται στο άρθρο από το λινκ που έβαλες,είναι φανερό ότι το πολυώνυμο που προκύπτει είναι ανάγωγο (αποδεικνύεται εύκολα με σχήμα Horner),άρα λοιπόν η ρίζα του (που είναι το συνημίτονο της γωνίας) δεν μπορέι να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη σύμφωνα με τον Wantzel.Η μόνη περίπτωση στην οποία μπορεί να γίνει αυτό είναι να μην είναι ανάγωγο το πολυώνυμο που προκύπτει,θα πρέπει δηλαδή το συν να είναι 0,άρα να έχουμε γωνία 90,180,270 κλπ.

Αυτές λοιπόν οι γωνίες τριχοτομούνται με κανόνα και διαβήτη.

ΥΓ: Καθαρά από περιέργεια,το θ=540/(6κ+2) από πού σου προέκυψε?

ipios · 11-12-07

Το αίτημα για τριχοτόμηση γωνίας, είναι αίτημα διαίρεσης της γωνίας και ως εκ τούτου είναι άμεσα ΕΚΤΟΣ της Ευκλείδειας γεωμετρίας και το αξιωματικό της σύστημα.

Για να το απαντήσουμε θεμελιωμένα χρειάζεται να γνωρίζουμε, αλλά και να συμφωνήσουμε εκ των προτέρων για να μην αναλωθούμε σε άσκοπες αντιπαραθέσεις, τι είναι διαίρεση.

Τι εννοούμε διαίρεση;

Ο όρος γενικά σημαίνει το μοίρασμα ή χώρισμα.

Στα μαθηματικά διαίρεση είναι η αριθμητική πράξη με την οποία, από δύο αριθμούς που μας δίνονται, τον διαιρετέο και τον διαιρέτη, βρίσκουμε ένα τρίτο, το πηλίκο, το οποίο όταν το πολλαπλασιάσουμε με τον διαιρέτη (επαλήθευση), θα μας δώσει γινόμενο τον διαιρετέο.

Αν η διαίρεση περιοριστεί μεταξύ ακέραιων αριθμών, το πηλίκο βρίσκεται ακριβώς μόνον όταν ο διαιρετέος είναι πολλαπλάσιο του διαιρέτη, οπότε η διαίρεση λέγεται τέλεια. Π. χ. 18:3=6 και 3Χ6=18.

Αλλιώς μένει υπόλοιπο μικρότερο πάντοτε από το διαιρέτη και η διαίρεση λέγεται ατελής. Π. χ. 17:3=5, υπόλοιπο 2 και 3Χ5=15 και 15+2=17.

Διαίρεση επομένως είναι το «χώρισμα» σε ίσα μέρη και η επαλήθευσή του κατά τον ορισμό της διαίρεσης. Με λίγα λόγια για να αποδείξουμε την διαίρεση, εν προκειμένω γωνίας α σε 3 ίσα μέρη όπως είναι το αίτημα, με τον χάρακα και τον διαβήτη, είναι αναγκαία η επαλήθευση. Αλλιώς μπορούμε τυχαία να χωρίσουμε μία γωνία σε 3 περίπου ίσα μέρη και να ισχυριστούμε ότι την διαιρέσαμε!

Έχοντας αυτά υπόψη μας, εύκολα αντιλαμβανόμαστε ότι οποιαδήποτε διαίρεση γωνίας, σε οσαδήποτε ίσα μέρη (και παντός επίπεδου σχήματος δύο διαστάσεων την συνθετική Ευκλείδεια γεωμετρία π.χ. τετράγωνο) ΕΙΝΑΙ ΑΔΥΝΑΤΗ αξιωματικά στηριγμένη από το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη, είτε με α άγνωστης αριθμητικής τιμής μοιρών για την τριχοτόμηση, είτε με α π.χ. 90 μοιρών, είτε 120 μοιρών, είτε 3 μοιρών, είτε 9 μοιρών κ.τ.λ. που φαινομενικά είναι εύκολη η τριχοτόμηση.

Αυτό συμβαίνει διότι δεν μπορεί να ενεργοποιηθεί η επαλήθευση.

Τα μέρη στην Ευκλείδεια γεωμετρία δεν κάνουν το όλο.

Το ίδιο ακριβώς ισχύει και αν εξετάσουμε το όλο θέμα μόνον αριθμητικά, χωρίς να λάβουμε υπόψη τα σχήματα (χωρία). Δεν μπορεί να υποδειχθεί ένας αριθμός μοιρών π.χ. 90 μοίρες, που να αιτιολογείται στο αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη σαν ακέραιο πολλαπλάσιο της 1 μοίρας.

Στο αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη δεν προβλέπονται ακέραια πολλαπλάσια του ενός σχήματος ή του αριθμητικού 1.

Βέβαια έτσι το λειτουργούμε χιλιάδες χρόνια, όμως είναι σφάλμα, διότι δεν υπάρχει αξιωματική στήριξη.

Το πρόβλημα αυτό έχω εισάγει στο φόρουμ με το θέμα 1+1=2 για να μη δεχθώ καμία απάντηση, διότι δεν μπορεί κανείς να αιτιολογήσει ακέραιο πολλαπλάσιο, ούτε στα σχήματα, ευθύγραμμο τμήμα, τρίγωνο, τετράγωνο κ.τ.λ., ούτε στους ακέραιους αριθμούς.

Το αίτημα διαίρεσης γωνίας σε οσαδήποτε μέρη (μεταξύ των οποίων και η τριχοτόμηση), είναι εκτός των δυνατοτήτων της ευκλείδειας γεωμετρίας.

Βέβαια το ίδιο ισχύει και με την αφαίρεση.

Δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε π.χ. μέρος ενός τετραγώνου και να επαληθεύσουμε την αφαίρεση προσθέτοντας τον αφαιρετέο με το υπόλοιπο ώστε να κάνουμε τον αφαιρέτη, διότι τα 2 άνισα μέρη στα οποία θα έχουμε χωρίσει το τετράγωνο δεν θα μπορούν να το αποτελέσουν εκ νέου και να γίνει η επαλήθευση της αφαίρεσης.

Ίσως μερικούς τους ξενίσουν αυτές οι απόψεις και είμαι στη διάθεσή σας να τις συζητήσουμε γιατί είμαστε άνθρωποι και δεν διεκδικούμε το αλάθητο, το οποίο βέβαια με την ίδια αιτιολογία δεν πρέπει να το αναγνωρίσουμε και στους προγόνους μας.

Rempeskes · 12-12-07

Το αίτημα διαίρεσης γωνίας σε οσαδήποτε μέρη (μεταξύ των οποίων και η τριχοτόμηση), είναι εκτός των δυνατοτήτων της ευκλείδειας γεωμετρίας.

...

Καταλήγουμε λοιπόν, ότι η Ευκλείδια γεωμετρία είναι εκτός των δυνατοτήτων της Ευκλείδιας γεωμετρίας... :worry:

ipios · 13-12-07

Rempeskes
Καταλήγουμε λοιπόν, ότι η Ευκλείδια γεωμετρία είναι εκτός των δυνατοτήτων της Ευκλείδιας γεωμετρίας...

Αγαπητέ Rempeskes, αν η μόνη εναλλακτική λύση ήταν αυτή, θα ήσουν ορθότατος.
Μπορεί να αποδειχθεί διαίρεση σχημάτων χωρίς επαλήθευση;
Άλλο σημαντικό ερώτημα είναι:
Αν υπάρχει λάθος θα πρέπει να μας απασχολήσει ή για να μη χαλάσουμε το μαθηματικό οικοδόμημα πρέπει να κλείσουμε τα μάτια και να πάμε σκυφτοί προς το μέλλον; Ή μήπως οι μαθηματικοί δεν έχουν πρόσβαση στο σφάλμα;
Εσύ αγαπητέ Rempeskes ποια προτεραιότητα θα είχες;
Διαπιστώνω, ότι αντί να απαντάς στους ισχυρισμούς μου, απλά συμπεραίνεις!
Που ακριβώς δυσκολεύεσαι μήπως μπορώ να βοηθήσω, διότι όλες σου οι απαντήσεις είναι μεν ευγενικές αλλά θυμίζουν, επέτρεψέ μου να σου το πω, φιρμάνια. Λες κάτι και έχεις την εντύπωση ότι τελείωσε, χωρίς να αναγνωρίζεις κάποια ανάγκη για θεμελίωσει των λακωνικών σου αποφάσεων.

Σε κάθε περίπτωση σε ευχαριστώ θερμά έστω και για την απλή συμμετοχή σου.
Απάντησε σε παρακαλώ αν είναι ορθοί ή εσφαλμένοι οι ισχυρισμοί μου και γιατί (αξιωματικά θεμελιωμένα) και ο συμπερασμός είναι επόμενο στάδιο και ακόμα πιο επόμενο το πως θα διαχειριστούμε τον όποιο συμπερασμό.

Rempeskes · 14-12-07

Αν υπάρχει λάθος θα πρέπει να μας απασχολήσει ή για να μη χαλάσουμε το μαθηματικό οικοδόμημα πρέπει να κλείσουμε τα μάτια και να πάμε σκυφτοί προς το μέλλον;

Mα... Νόμιζα ότι είμαστε ήδη στο μέλλον, σε σχέση με τον Ευκλείδη πάντα...

coincidence · 14-12-07

Γεια σας!
Όταν χρησιμοποιώ το θεώρημα του Θαλή για να χωρίσω ένα ευθύγραμμο τμήμα σε όσα τμήματα ίσα θέλω, τι επαλήθευση χρειάζεται παρακάτω;

ipios · 14-12-07

Rempeskes
Mα... Νόμιζα ότι είμαστε ήδη στο μέλλον, σε σχέση με τον Ευκλείδη πάντα...

Μόνο που στις αποσκευές μας έχουμε απαράλλακτες τις αρχικές έννοιες του Ευκλείδη περί σημείου, ευθείας και επιπέδου που τον καθιστά σύγχρονο. Η νεότερη τυποποίηση της ευκλείδειας γεωμετρίας από τον Χίλμπερτ δεν προτείνει αλλιώς τις αρχικές έννοιες. Ο μέγας Ευκλείδης δεν ήταν, εξακολουθεί να είναι η δεσπόζουσα φυσιογνωμία στο χώρο των μαθηματικών. Να θυμίσω επίσης ότι στην αναλυτική μέθοδο, τα πάντα είναι προτάσεις και τα αξιώματα δείχνουν να απουσιάζουν. Αυτό όμως είναι μόνο φαινομενικό. Τα αξιώματα κρύβονται σε αυτή την περίπτωση στο μοντέλο. Π.χ. για το R^2 τα αντίστοιχα αξιώματα είναι αυτά του R τα οποία συνεπάγονται τα αξιώματα του ευκλείδειου επιπέδου.
Αυτό σημαίνει ότι σε σχέση με τον Ευκλείδη είμαστε στο μέλλον χρονολογικά, ως προς τις ιδέες του όμως περί τα μαθηματικά, ο μεγάλος δάσκαλος είναι παρών και ανυπέρβλητος. Κανείς δεν έχει ούτε δικαίωμα, ούτε τη δυνατότητα όσο και να το επιθυμεί, να τον διαγράψει ή να μειώσει την ένταση του φωτός του πνεύματός του.

Σε ευχαριστώ που ασχολείσαι.

Τριχοτόμηση γωνιών!

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

e-steki.gr Founder

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος